【振動】円筒振り子の中の円柱(微小振動)


 微小振動の例として円筒振り子がある。この円筒振り子の中にさらに円柱を入れて2つの微小振動を見る。以下の例題で考える。

 左が厚みのない円筒の振り子。右が円筒振り子内の円柱(灰色)。


半径 3a円筒振り子の軸まわりの慣性モーメント I

    \begin{eqnarray*} I=m(3a)^2=9ma^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



 半径 a、質量 \frac{3}{2}m円柱の軸周りの慣性モーメント I'

この円柱の単位面積当たりの質量(面密度)は

    \begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{2}m}{\pi a^2} = \frac{3m}{2\pi a^2} \end{eqnarray*}

である。慣性モーメントは半径 r に依存する。したがって、下のような薄い半径 r の円筒の慣性モーメントを 0\to a で足し合わせれば I' となる。この薄い円筒の質量は(面密度)× 2\pi r dr である。

    \begin{eqnarray*} I'&=&\int_{0}^{a}\left[\frac{3m}{2\pi a^2}\cdot 2\pi r dr \times r^2 \right]\\\\ &=& \frac{3m}{a^2}\int_{0}^{a} r^3 dr\\\\ &=& \frac{3}{4}ma^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



次に、円筒と円柱がそれぞれ基準位置からずれた場合を考える。下の図のように変数を設定する。

系の運動エネルギー K は、

  • 円筒振り子の回転のエネルギー(\thetaについて)
  • 円柱の並進の運動のエネルギー(\alphaについて)
  • 円柱の回転の運動エネルギー(\phiについて)

の和になる。ここで、運動エネルギーは慣性モーメント I と角度 \theta を用いて、

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 \end{eqnarray*}

の形になることを利用する。また、円柱の重心の回転運動(\alpha について)の 慣性モーメント I''

    \begin{eqnarray*} I''=\frac{3}{2}m\cdot(2a)^2 = 6ma^2 \end{eqnarray*}

である。以上より、系全体の運動エネルギー K

    \begin{eqnarray*} K&=&\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}I' \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}I'' \dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{1}{2}(9ma^2)\dot{\theta}^2  + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}ma^2\right) \dot{\phi}^2 \frac{1}{2}(6ma^2)\dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}^2 +\frac{3}{8}ma^2\dot{\phi}^2 +3ma^2\dot{\alpha}^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



次に位置エネルギーを考える。系の位置エネルギーの総和 U

  • P の位置エネルギー U_P
  • 円柱重心の位置エネルギー U_{O'}

の和になる。微小振動の場合は |\theta|<<1,|\alpha|<<1 であり、\cos\theta\simeq 1-\frac{1}{2}\theta^2 を利用する。

    \begin{eqnarray*} U_P&=&mg\cdot 3a(1-\cos\theta)\simeq = \frac{3}{2}mga\theta^2 \\\\ U_{O'}&=&\frac{3}{2}mg\cdot 2a(1-\cos\alpha) \simeq\frac{3}{2}mga\alpha^2 \end{eqnarray*}

よって、系のポテンシャルエネルギー U は、

    \begin{eqnarray*} U=\frac{3}{2}mga(\theta^2 + \alpha^2)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



円柱が円筒をすべらない条件は、

    \begin{eqnarray*} \phi=3\theta-2\alpha \end{eqnarray*}

で与えられるため、

    \begin{eqnarray*} \dot{\phi}=3\dot{\theta}-2\dot{\alpha} \end{eqnarray*}

より、運動エネルギー K から \dot{\phi} を消去する。

    \begin{eqnarray*} K&=&\frac{9}{2}ma^2\dot{\theta}^2+\frac{3}{8}ma^2 (3\dot{\theta}-2\dot{\alpha})^2 + 3ma^2\dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{63}{8}ma^2 \dot{\theta}^2 -\frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}\dot{\alpha} +\frac{9}{2}ma^2 \dot{\alpha}^2 \end{eqnarray*}

したがって、ラグランジアン L=K-U は、

    \begin{eqnarray*} L=\frac{63}{8}ma^2 \dot{\theta}^2 -\frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}\dot{\alpha} +\frac{9}{2}ma^2 \dot{\alpha}^2-\frac{3}{2}mga(\theta^2 + \alpha^2 ) \end{eqnarray*}

となる。これより、オイラー・ラグランジュ方程式から\theta,\alpha に関する連立運動方程式がわかる。

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \theta}&=&-3mga\theta\\\\ \frac{\partial L}{\partial \alpha}&=&-3mga\alpha\\\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}&=&\frac{63}{4}ma^2 \dot{\theta}-\frac{9}{2}ma^2\dot{\alpha}\\\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}&=&9ma^2\dot{\alpha}-\frac{9}{2}ma^2\dot{\theta} \end{eqnarray*}

より、

\theta について:

    \begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{63}{4}\cancel{m}a^2 \ddot{\theta}-\frac{9}{2}\cancel{m}a^2\ddot{\alpha} +3\cancel{m}ga\theta=0\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{7}{4}\ddot{\theta}-\frac{1}{2}\ddot{\alpha}+\frac{g}{3a}\theta=0 \end{eqnarray*}

\alpha について:

    \begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial \alpha}=0\\\\ \Leftrightarrow&& 9ma^2 \ddot{\alpha}-\frac{9}{2}ma^2 \ddot{\theta}+3mg\alpha=0\\\\ \Leftrightarrow&& \ddot{\alpha}-\frac{1}{2}\ddot{\theta}+\frac{g}{3a}\alpha=0 \end{eqnarray*}

ここで、\omega_g^2\equiv \frac{g}{3a} とおいてまとめると、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{7}{4}\ddot{\theta}-\frac{1}{2}\ddot{\alpha}+\omega_g^2\theta=0\\\\ -\frac{1}{2}\ddot{\theta}+\ddot{\alpha}+\omega_g^2\alpha=0 \end{cases}\quad \blacksquare \end{eqnarray*}



この連立微分方程式を解くために、

    \begin{eqnarray*} \theta=A\cos\omega t,\quad \alpha=B\cos\omega t \end{eqnarray*}

とおくと、

    \begin{eqnarray*} \ddot{\theta}=-\omega^2 \theta,\quad \ddot{\alpha}=-\omega^2 \alpha \end{eqnarray*}

となる。これを微分方程式へ代入して、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} \left(-\frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2\right)\theta + \frac{1}{2}\omega^2 \alpha=0\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 \theta + (-\omega^2+\omega_g^2)\alpha=0 \end{cases}\\\\\\ \left(\begin{array}{cc} \frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2  & \frac{1}{2}\omega^2\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 & -\omgea^2  + \omega_g^2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \theta\\ \alpha \end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}

これが、自明な解(\theta=\alpha=0)以外を持つためには行列式が 0 になる。

    \begin{eqnarray*} &&\left|\begin{array}{cc} -\frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2  & \frac{1}{2}\omega^2\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 & -\omega^2  + \omega_g^2 \end{array}\right|=0\\\\\\ &&\Leftrightarrow \frac{3}{2}\omega^2 -\frac{11}{4}\omega_g^2 \omega^2 +\omega_g^4=0\\\\\\ &&\Leftrightarrow (3\omega^2-4\omega_g^2)(2\omega^2-\omega_g^2)=0\\\\\\ &&\therefore \omega^2 = \frac{4}{3}\omega_g^2,\; \frac{1}{2}\omega_g^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}

 それぞれの固有値を \omega_1^2,\omega_2^2 とおく。この結果から、系の振動は \omega_1,\omega_^2 の基準振動の重ね合わせである(2質点の連成振動を思い出す)。



 最後に固有関数(振動のモード)を求めると、

    \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 1\\\\ 2 \end{array}\right) \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \\\\\\ \left(\begin{array}{c} 2\\\\ -1 \end{array}\right) \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \end{eqnarray*}

となる。したがって \theta,\alpha の振幅の比 A/B は固有関数の比、すなわち、

    \begin{eqnarray*} \frac{A}{B}=\begin{cases} \frac{1}{2}  \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2)\\\\ -2 \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}




 上で見てきたように、円筒振り子の中の円柱(微小振動)はそれぞれの基準振動を重ね合わせた振動となる。|\theta|<<1,\;|\alpha|<<1の場合は、それぞれ微小振動で自由振動(単振動)として扱える。このような自由振動が重ね合わさるような運動は、2質点の連成振動となんら変わりない。




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です