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【振動】「うなり」と強制振動

　強制振動とは、ブランコに乗っている人を後ろから押してやるみたいに、振動数\omega_0 で自由振動している系を外場 F(t) によって強制的に振動させる運動のことである。もともとの \omega_0 に近い振動数で外場 F(t) を与えたときには「うなり」が発生する。以下の 442Hz と 438Hz の「うなり」はWikipediaより引用した（音が出ます）。


摩擦のない場合の強制振動 の運動方程式は下のようになる。ここでは、「うなり」を運動方程式の一般解から見ていくことでゆるキャラ*1 のように親しめるようになる。

強制振動の運動方程式（摩擦無し）

    \begin{eqnarray*} \ddot{x}+ \omega_0 x = \frac{1}{m}F(t) \end{eqnarray*}



1. うなり とは？

　「うなり」は振動数がある程度近い２つの波が重なり合う時に、波（振幅）の強弱ができる。２つの音波の場合は、「ウォーンウォーン」といったように聞こえる。以下の音源は Wikipedia から引用した。438Hzと442Hzの音源によるうなりである（音が出ます）。


　高校物理で習う、うなりの振動数 f は ２つの波の振動数 f_1,f_2 に対して、

f=|f_1 - f_2|

となる。



2. うなりを強制振動から考える

　「うなり」を強制振動の運動方程式から見る。もともとの自由振動（単振動）の振動数を \omega_0 とする。外部から時間の周期関数である外場

    \begin{eqnarray*} F(t)=f\cos(\omega t) \end{eqnarray*}

を加える。ここで扱う強制振動は以下のような物理現象と関わりがある。


　\varepsilon を微小量として振動数 \omega=\omega_0 + \varepsilon をもった周期的な外場を考える。わかりやすく上の音波のうなりの例で表すと

  • 2\pi \omega_0=438\quad{\rm [Hz]}
  • 2\pi \omega=442\quad{\rm [Hz]}
  • 2\pi \varepsilon=442-438=4\quad{\rm [Hz]}

になる。



強制振動の運動方程式と一般解

一般的な強制振動の運動方程式は、

    \begin{eqnarray*} \ddot{x}+ \omega_0 x = \frac{f}{m}\cos{\omega t} \end{eqnarray*}

である。この非同次線形微分方程式の一般解は、同次線形微分方程式

    \begin{eqnarray*} \ddot{x}+ \omega_0 x =0 \end{eqnarray*}

で表された自由振動の一般解 x_0 = Ae^{-i\omega_0 t} と特殊解 x_1 で表すことができる。したがって、以下のようになる。

    \begin{eqnarray*} x(t)&=&Ae^{-i\omega_0 t}+Be^{-i(\omega_0+\varepsilon)t} \\\\ &=&\left(A+Be^{-i\varepsilon t} \right) e^{-i\omega_0 t} \end{eqnarray*}

　A,B は位相因子を含むため、複素数で表される。ここで、\varepsilon が微小量であるため、e^{-i\omega_0 t} の周期 \frac{2\pi}{\omega} の間に、A+Be^{-i\varepsilon t} の部分はほとんど変化しない（後の図の赤波に対応）。



合成波の「振幅」

　ほとんど変化しない部分の振幅を c として |c| を見る。複素数 A,B をそれぞれ A=ae^{-i\alpha},B=be^{-i\beta} と表す。

    \begin{eqnarray*} c&=&|A+Be^{-i\varepsilon t}|\\\\ &=& a^2+b^2+2ab\cos(\omega_0+\beta-\alpha) \end{eqnarray*}

-1\leq\cos\theta\leq 1 より、

    \begin{eqnarray*} |a-b|\leq c \leq a+b \end{eqnarray*}

　すなわち、２つの波を合成した波の「振幅」 c は |a-b|\leq c \leq a+b の間を振動数 \varepsilon で周期的に振動する。



442 Hz と 438 Hz のうなり

　再度、442 Hz と 438 Hz の例をみる。

  • 2\pi\omega_0=438\quad{\rm [Hz]}
  • 2\pi\omega=442\quad{\rm [Hz]}
  • 2\pi\varepsilon=442-438=4\quad{\rm [Hz]}

442 Hz と 438 Hz のそれぞれの振幅が同じ（a=b=1）とき、

    \begin{eqnarray*} 0 \leq c \leq 2 \end{eqnarray*}

である。２つの波の山と谷が重なれば音は合成波の振幅は０で音は聞こえない。また、２つの波の山と山が重なれば音は大きく聞こえる。

　具体的に、f_1=442 [Hz]の波は1秒間に442回振動する。f_2=438 [Hz] も同様である。この２つの波は時間が経過するごとに少しずつ山の位置がずれていく。

　この２つの波の重ね合わせは以下のようになる。振動数 f=f_1 -f_2 =4 \;{\rm [Hz]} の波は赤色で描いた。時間スケールが上の図と異なることに注意する。

　f=4\;{\rm [Hz]} の波は、1秒ごとに４回振動する。つまり、0.25秒ごとに１回振動する。上の図からそのことがわかるし、音源を聴き直してみればそんな気がする。我々が「ウォーンウォーン」と聞こえているうなりはこの赤い波である。


　赤い波の振幅は a+b=2 である。また赤い波の式は 442\;{\rm [Hz]} の振動（e^{-i\omega_0 t}）を A+Be^{-i\varepsilon t} （例では 2\pi \varepsilon=4\;{\rm [Hz]}）で変調した形になっている。つまり下の形になっている。

    \begin{eqnarray*} \left[A+Be^{-2\pi i f t}\right]e^{-2\pi i f_1 t} \end{eqnarray*}



3. まとめ

　「うなり」を強制振動から見てきた。自由振動の振動数に近い振動数をもつ外場によって「うなり」がおこっていることが確認できたと思う。

　この「うなり」はバイオリンやギターなどの弦楽器のチューニングにも使われる。よくある方法として、音叉などを使って振動数 f_1 が 440Hz のA（ラ）の音を出し、チューニングする楽器の音の振動数 f_2 を変えていき、「うなり」が消える場所を探す。「うなり」が消えているところでは f_2 は f_1 に等しく、これでチューニングが完了する。実際は、これ以外にもいろいろな方法がある。

*1 うなりくん



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