円筒振り子の中の円柱（微小振動）

　微小振動の例として円筒振り子がある。この円筒振り子の中にさらに円柱を入れて２つの微小振動を見る。以下の例題で考える。

　左が厚みのない円筒の振り子。右が円筒振り子内の円柱（灰色）。

半径 $3a$ の円筒振り子の軸まわりの慣性モーメント $I$ ：

$\begin{eqnarray*} I=m(3a)^2=9ma^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　半径 $a$ 、質量 $\frac{3}{2}m$ の円柱の軸周りの慣性モーメント $I'$ ：

この円柱の単位面積当たりの質量（面密度）は

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{2}m}{\pi a^2} = \frac{3m}{2\pi a^2} \end{eqnarray*}$

である。慣性モーメントは半径 $r$ に依存する。したがって、下のような薄い半径 $r$ の円筒の慣性モーメントを $0\to a$ で足し合わせれば $I'$ となる。この薄い円筒の質量は（面密度）× $2\pi r dr$ である。

$\begin{eqnarray*} I'&=&\int_{0}^{a}\left[\frac{3m}{2\pi a^2}\cdot 2\pi r dr \times r^2 \right]\\\\ &=& \frac{3m}{a^2}\int_{0}^{a} r^3 dr\\\\ &=& \frac{3}{4}ma^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

次に、円筒と円柱がそれぞれ基準位置からずれた場合を考える。下の図のように変数を設定する。

系の運動エネルギー $K$ は、

円筒振り子の回転のエネルギー（ $\theta$ について）
円柱の並進の運動のエネルギー（ $\alpha$ について）
円柱の回転の運動エネルギー（ $\phi$ について）

の和になる。ここで、運動エネルギーは慣性モーメント $I$ と角度 $\theta$ を用いて、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 \end{eqnarray*}$

の形になることを利用する。また、円柱の重心の回転運動（ $\alpha$ について）の　慣性モーメント $I''$ は

$\begin{eqnarray*} I''=\frac{3}{2}m\cdot(2a)^2 = 6ma^2 \end{eqnarray*}$

である。以上より、系全体の運動エネルギー $K$ は

$\begin{eqnarray*} K&=&\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}I' \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}I'' \dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{1}{2}(9ma^2)\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}ma^2\right) \dot{\phi}^2 \frac{1}{2}(6ma^2)\dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}^2 +\frac{3}{8}ma^2\dot{\phi}^2 +3ma^2\dot{\alpha}^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

次に位置エネルギーを考える。系の位置エネルギーの総和 $U$ は

点 $P$ の位置エネルギー $U_P$
円柱重心の位置エネルギー $U_{O'}$

の和になる。微小振動の場合は $|\theta|<<1,|\alpha|<<1$ であり、 $\cos\theta\simeq 1-\frac{1}{2}\theta^2$ を利用する。

$\begin{eqnarray*} U_P&=&mg\cdot 3a(1-\cos\theta)\simeq = \frac{3}{2}mga\theta^2 \\\\ U_{O'}&=&\frac{3}{2}mg\cdot 2a(1-\cos\alpha) \simeq\frac{3}{2}mga\alpha^2 \end{eqnarray*}$

よって、系のポテンシャルエネルギー $U$ は、

$\begin{eqnarray*} U=\frac{3}{2}mga(\theta^2 + \alpha^2)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

円柱が円筒をすべらない条件は、

$\begin{eqnarray*} \phi=3\theta-2\alpha \end{eqnarray*}$

で与えられるため、

$\begin{eqnarray*} \dot{\phi}=3\dot{\theta}-2\dot{\alpha} \end{eqnarray*}$

より、運動エネルギー $K$ から $\dot{\phi}$ を消去する。

$\begin{eqnarray*} K&=&\frac{9}{2}ma^2\dot{\theta}^2+\frac{3}{8}ma^2 (3\dot{\theta}-2\dot{\alpha})^2 + 3ma^2\dot{\alpha}^2\\\\ &=& \frac{63}{8}ma^2 \dot{\theta}^2 -\frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}\dot{\alpha} +\frac{9}{2}ma^2 \dot{\alpha}^2 \end{eqnarray*}$

したがって、ラグランジアン $L=K-U$ は、

$\begin{eqnarray*} L=\frac{63}{8}ma^2 \dot{\theta}^2 -\frac{9}{2}ma^2 \dot{\theta}\dot{\alpha} +\frac{9}{2}ma^2 \dot{\alpha}^2-\frac{3}{2}mga(\theta^2 + \alpha^2 ) \end{eqnarray*}$

となる。これより、オイラー・ラグランジュ方程式から $\theta,\alpha$ に関する連立運動方程式がわかる。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \theta}&=&-3mga\theta\\\\ \frac{\partial L}{\partial \alpha}&=&-3mga\alpha\\\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}&=&\frac{63}{4}ma^2 \dot{\theta}-\frac{9}{2}ma^2\dot{\alpha}\\\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}&=&9ma^2\dot{\alpha}-\frac{9}{2}ma^2\dot{\theta} \end{eqnarray*}$

より、

$\theta$ について：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{63}{4}\cancel{m}a^2 \ddot{\theta}-\frac{9}{2}\cancel{m}a^2\ddot{\alpha} +3\cancel{m}ga\theta=0\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{7}{4}\ddot{\theta}-\frac{1}{2}\ddot{\alpha}+\frac{g}{3a}\theta=0 \end{eqnarray*}$

$\alpha$ について：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial \alpha}=0\\\\ \Leftrightarrow&& 9ma^2 \ddot{\alpha}-\frac{9}{2}ma^2 \ddot{\theta}+3mg\alpha=0\\\\ \Leftrightarrow&& \ddot{\alpha}-\frac{1}{2}\ddot{\theta}+\frac{g}{3a}\alpha=0 \end{eqnarray*}$

ここで、 $\omega_g^2\equiv \frac{g}{3a}$ とおいてまとめると、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{7}{4}\ddot{\theta}-\frac{1}{2}\ddot{\alpha}+\omega_g^2\theta=0\\\\ -\frac{1}{2}\ddot{\theta}+\ddot{\alpha}+\omega_g^2\alpha=0 \end{cases}\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

この連立微分方程式を解くために、

$\begin{eqnarray*} \theta=A\cos\omega t,\quad \alpha=B\cos\omega t \end{eqnarray*}$

とおくと、

$\begin{eqnarray*} \ddot{\theta}=-\omega^2 \theta,\quad \ddot{\alpha}=-\omega^2 \alpha \end{eqnarray*}$

となる。これを微分方程式へ代入して、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \left(-\frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2\right)\theta + \frac{1}{2}\omega^2 \alpha=0\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 \theta + (-\omega^2+\omega_g^2)\alpha=0 \end{cases}\\\\\\ \left(\begin{array}{cc} \frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2 & \frac{1}{2}\omega^2\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 & -\omgea^2 + \omega_g^2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \theta\\ \alpha \end{array}\right)=0 \end{eqnarray*}$

これが、自明な解（ $\theta=\alpha=0$ ）以外を持つためには行列式が $0$ になる。

$\begin{eqnarray*} &&\left|\begin{array}{cc} -\frac{7}{4}\omega^2 +\omega_g^2 & \frac{1}{2}\omega^2\\\\ \frac{1}{2}\omega^2 & -\omega^2 + \omega_g^2 \end{array}\right|=0\\\\\\ &&\Leftrightarrow \frac{3}{2}\omega^2 -\frac{11}{4}\omega_g^2 \omega^2 +\omega_g^4=0\\\\\\ &&\Leftrightarrow (3\omega^2-4\omega_g^2)(2\omega^2-\omega_g^2)=0\\\\\\ &&\therefore \omega^2 = \frac{4}{3}\omega_g^2,\; \frac{1}{2}\omega_g^2 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　それぞれの固有値を $\omega_1^2,\omega_2^2$ とおく。この結果から、系の振動は $\omega_1,\omega_^2$ の基準振動の重ね合わせである（２質点の連成振動を思い出す）。

　最後に固有関数（振動のモード）を求めると、

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 1\\\\ 2 \end{array}\right) \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \\\\\\ \left(\begin{array}{c} 2\\\\ -1 \end{array}\right) \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \end{eqnarray*}$

となる。したがって $\theta,\alpha$ の振幅の比 $A/B$ は固有関数の比、すなわち、

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{B}=\begin{cases} \frac{1}{2} \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2)\\\\ -2 \quad({\rm for}\; \omega^2=\omega_1^2) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　上で見てきたように、円筒振り子の中の円柱（微小振動）はそれぞれの基準振動を重ね合わせた振動となる。 $|\theta|<<1,\;|\alpha|<<1$ の場合は、それぞれ微小振動で自由振動（単振動）として扱える。このような自由振動が重ね合わさるような運動は、２質点の連成振動となんら変わりない。

【振動】円筒振り子の中の円柱（微小振動）

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