積分のラプラス変換／それを利用したラプラス逆変換（例題）

積分のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\int_0^{t} f(r)\, dr\right](s)=\frac{{\mathcal L}\left[f(t)](s)}{s} \end{eqnarray*}$

これを導出する。これを利用した下のラプラス逆変換の例題も解説する。

ラプラス逆変換の例題

次の関数をラプラス逆変換せよ。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{s(s^2+\omega^2)} \end{eqnarray*}$

1. 積分のラプラス変換
- 証明①：部分積分の利用
- 証明②：f'(t)のラプラス変換の利用
2. 例題の解答
3. まとめ

1. 積分のラプラス変換

証明①：部分積分の利用

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\int_0^{t} f(r)\, dr\right](s)&=& \int_0^{\infty}\left(\int_0^{t} f(r)\, dr \right)e^{-st}\,dt \\ \\ &=& \int_0^{\infty}\left(\int_0^{t} f(r)\, dr \right) \left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)' \, dt \\ \\ &=& \left[\textcolor{red}{ -\frac{1}{s}e^{-st} \left(\int_0^{t} f(r)\, dr \right)}\right]_{t=0}^{t=\infty} +\frac{1}{s}\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt\\ \\ &=& \frac{{\mathcal L}[f(t)](s)}{s} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

計算のポイント：

部分積分の利用
$\textcolor{red}{t\to \infty}$ での収束（以下）

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\rightarrow\infty}|(F(t)-F(0))e^{-st}|\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

$F(t)$ は $f(t)$ の原始関数。 $s$ は $0$ に収束するようにとる。

証明②：f'(t)のラプラス変換の利用

$\textcolor{red}{g(t)=f'(t)}$ と置くと、

$\begin{eqnarray*} f(t)=\int_{0}^{t}g(r) \,dr + f(0) \end{eqnarray*}$

である。両辺をラプラス変換して、

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f(t)](s)&=& {\mathcal L}\left[\int_{0}^{t}g(r) \,dr\right](s) +{\mathcal L}[f(0)](s) \\ \\ \Leftrightarrow \; {\mathcal L}\left[\int_{0}^{t}g(r) \,dr\right](s)&=& \textcolor{blue}{{\mathcal L}[f(t)](s)}-{\mathcal L}[f(0)](s)\\ \\ &=& \textcolor{blue}{{\mathcal L}[f(t)](s)}-\frac{f(0)}{s} \quad (\because {\mathcal L}[1]=\frac{1}{s}) \end{eqnarray*}$

ここで、

導関数のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f'(t)](s)&=&s\textcolor{blue}{{\mathcal L}[f(t)](s)}-f(0) \end{eqnarray*}$

参考：n次導関数のラプラス変換の導出

を用いる。

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{{\mathcal L}[f(t)](s)}&=&\frac{ {\mathcal L}[f'(t)](s)+f(0)}{s} \\ \\ &=&\frac{ {\mathcal L}[\textcolor{red}{g(t)}](s)+f(0)}{s} \end{eqnarray*}$

より、

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f(t)](s)&=& \frac{{\mathcal L}[\textcolor{red}{g(t)}](s)+f(0)}{s}-\frac{f(0)}{s}\\ \\ &=& \frac{{\mathcal L}[\textcolor{red}{g(t)}](s)}{s} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

2. 例題の解答

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{s(s^2+\omega^2)} \end{eqnarray*}$

を逆ラプラス変換する。

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[\sin{\omega t}](s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \end{eqnarray*}$

である。したがって、

積分のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\int_0^{t} f(r)\, dr\right](s)=\frac{{\mathcal L}\left[f(t)](s)}{s} \end{eqnarray*}$

の形から、 $f(t)=\frac{1}{\omega}\sin{\omega t}$ とおくと、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\omega}{\mathcal L}\left[\int_0^{t}\sin{\omega r}\, dr\right](s)=\frac{{\mathcal L}\left[\frac{\sin{\omega t}}{\omega}](s)}{s}=\frac{1}{s(s^2+\omega^2)} \end{eqnarray*}$

である。よって、

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\right] &=&\frac{1}{\omega}\int_0^{t} \sin{\omega r} \, dr \\ \\ &=&\frac{1-\cos{\omega t}}{\omega^2} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

一般に、

ラプラス逆変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s} {\mathcal L}[f(t)](s)\right]=\int_0^t f(r) \, dr \end{eqnarray*}$

が成り立つ。

3. まとめ

　ときに例題のようなラプラス逆変換の問題は、部分分数分解でも解くことができる。ここで扱った積分のラプラス変換の利用か部分分数分解を使うはケースバイケースである。

【ラプラス変換】積分のラプラス変換／それを利用したラプラス逆変換

1. 積分のラプラス変換

証明①：部分積分の利用

証明②：f'(t)のラプラス変換の利用

2. 例題の解答

3. まとめ

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1. 積分のラプラス変換

証明①：部分積分の利用

証明②：f'(t)のラプラス変換の利用

2. 例題の解答

3. まとめ

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