簡単な積分方程式のラプラス変換を用いた解法

基本的な流れ：

$y(t)$ に関する積分方程式をラプラス変換
$Y(s)=$ の形に変形（部分分数分解など）
ラプラス逆変換で $y(t)$ を求める

例題

$t>0$ で定義された実関数 $y(t)$ を考えて、以下の積分方程式をラプララス変換を用いて解け。

$\begin{eqnarray*} y(t)=t+\int_0^{t}y(\tau)d\tau \end{eqnarray*}$

予備知識：

・積分のラプラス変換（導出）

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\int_0^{t} f(r)\, dr\right](s)=\frac{{\mathcal L}\left[f(t)](s)}{s} \end{eqnarray*}$

・ $t$ のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[t\right](s)&=& \int_0^{\infty} te^{-st}\,dt=\frac{1}{s^2} \end{eqnarray*}$

・ $e^at$ のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[e^{at}\right](s)&=& \int_0^{\infty} e^{at}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s-a} \end{eqnarray*}$

【解答】

$y(t)$ のラプラス変換を定義する。

$\begin{eqnarray*} Y(s)\equiv{\mathcal L}\left[y(t)\right](s) \end{eqnarray*}$

ここで、積分方程式の両辺をラプラス変換する。

$\begin{eqnarray*} &&{\mathcal L}\left[y(t)\right]={\mathcal L}\left[t\right](s)+{\mathcal L}\left[\int_0^{t}y(\tau)d\tau\right]\\\\ \Leftrightarrow&&Y(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{Y(s)}{s}\\\\ \Leftrightarrow&& Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} \end{eqnarray*}$

ラプラス逆変換すれば、

$\begin{eqnarray*} y(t)&=&{\mathcal L}^{-1}\left[Y(s)\right](t)\\\\ &=&{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right] -{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]\\\\ &=& e^t -1\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$