【例題で学ぶ】簡単な積分方程式のラプラス変換を用いた解法


基本的な流れ:

  1. y(t) に関する積分方程式をラプラス変換
  2. Y(s)= の形に変形(部分分数分解など)
  3. ラプラス逆変換で y(t) を求める
例題

t>0 で定義された実関数 y(t) を考えて、以下の積分方程式をラプララス変換を用いて解け。

    \begin{eqnarray*} y(t)=t+\int_0^{t}y(\tau)d\tau \end{eqnarray*}


予備知識

・積分のラプラス変換 (導出

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\int_0^{t} f(r)\, dr\right](s)=\frac{{\mathcal L}\left[f(t)](s)}{s} \end{eqnarray*}



t のラプラス変換

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[t\right](s)&=& \int_0^{\infty} te^{-st}\,dt=\frac{1}{s^2} \end{eqnarray*}



e^at のラプラス変換

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[e^{at}\right](s)&=& \int_0^{\infty} e^{at}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s-a} \end{eqnarray*}



【解答】

y(t) のラプラス変換を定義する。

    \begin{eqnarray*} Y(s)\equiv{\mathcal L}\left[y(t)\right](s) \end{eqnarray*}

ここで、積分方程式の両辺をラプラス変換する。

    \begin{eqnarray*} &&{\mathcal L}\left[y(t)\right]={\mathcal L}\left[t\right](s)+{\mathcal L}\left[\int_0^{t}y(\tau)d\tau\right]\\\\ \Leftrightarrow&&Y(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{Y(s)}{s}\\\\ \Leftrightarrow&& Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} \end{eqnarray*}


ラプラス逆変換すれば、

    \begin{eqnarray*} y(t)&=&{\mathcal L}^{-1}\left[Y(s)\right](t)\\\\ &=&{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right] -{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]\\\\ &=& e^t -1\quad\blacksquare \end{eqnarray*}




ラプラス変換を使わない別解

積分方程式の両辺を t で微分する。

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt}=1+y(t) \end{eqnarray*}

となり、簡単な微分方程式を得る。これは変数分離形で簡単に解ける。

    \begin{eqnarray*} &&\frac{dy}{1+y}=dt\\\\ \Leftrigharrow&& \ln{|1+y|}=t+C\\\\ \Leftrigharrow&& y(t)=Ce^t - 1 \quad(C:const.) \end{eqnarray*}



定数 C を得るために、元の積分方程式において t=0 を代入して、

    \begin{eqnarray*} y(0)=0+\int_0^{0}y(\tau)\,d\tau = 0 \end{eqnarray*}

である。したがって、C=1 を得る。

    \begin{eqnarray*} y(t)=e^t -1\quad\blacksquare \end{eqnarray*}






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