ラゲール(Laguerre)陪多項式 について、いくつかの性質を証明付きでまとめた。ラゲール多項式 との関係は
である。
目次
ラゲール陪多項式の諸性質
おもに、ラゲール陪多項式 について学ぶ。 の肩に があるものが陪多項式で、 のものをラゲール多項式 という。 の有無は、微分方程式の中に が入っているかどうかでわかる。
以下では、微分方程式とラゲール陪多項式について簡単にまとめた。
ラゲールの微分方程式
ラゲール陪多項式 は次の微分方程式を満たす解の1つである。
ここで、 は整数である。微分方程式に が含まれるため、陪多項式は の添え字をもつ。 この式はラゲール多項式 が満たす微分方程式
の両辺を で 回微分して、
を作り、
とすることで得られる。式変形の途中、 回微分を実行するときにライプニッツの定理(「二項定理の微分版」のようなもの)
を用いた。
ラゲール陪多項式
ラゲール陪多項式 はラゲールの微分方程式を満たすである。
多項式の次数
ラゲール多項式 は
の関係があり、最高次の項は で は 次の多項式である。 陪多項式 は の 階微分であるので 次の多項式である()。また、 の場合は となることがわかる。
で展開した多項式の形は
であり、 次の多項式であることが確認できる。
ラゲール多項式の母関数の利用
の母関数を利用すると、
の関係を導くことができる。
ラゲール多項式の母関数
を で 回微分して
を得る。
内積の定義
が満たす微分方程式
はステュルム-リウヴィル型微分方程式に分類される。その定義から内積と直交関係は
で表される(計量ベクトル空間)。、 は高々 次と 次の多項式であり、上の被積分関数にある により被積分関数は でも収束する。
ラーゲル多項式との関係といくつかの便利な式
具体的な項については
を用いると良い。この表式は
より得られる。また、式(*)の両辺を で微分して
の関係がある。1回微分することで の陪多項式を作ることができる()。
n=6までの具体的な項
以下では具体的な形を得るために式(2)を用いる。すなわち、 を計算したのち 回微分して を計算している。
を求めるときに使った式だけ下に載せておく。
ラゲール関数 Rnl(x)
定義
ラゲール関数 を以下のように定義する。
は以下の微分方程式の解のひとつである。
内積とよく使う式
量子力学でよく使う式は下の通りである。
母関数で表した式を利用して証明を進めていけばよい。
上で見たラゲール陪多項式を母関数で表した式
を使い、 として
として
を得る。両辺に をかけて、 で積分する。このとき左辺(LHS)は
である。右辺(RHS)は
被積分関数の指数部分について
とおくと
ここでガンマ関数 の性質 を用いた。よって、右辺(RHS)は
ここで、 を展開するため二項定理
を用いて()
と展開できる。よって、
のとき、(LHS)と(RHS)それぞれの の係数を比べる。(RHS)については上の式の4つの項のうち、第1項と第4項のみが が同じ次数となる。 となるのは、第1項、第4項においてそれぞれ のときである。したがって、係数は
一方、(LHS)の の係数は
である。これより、
を得る。