ラゲール多項式の導入①：ラゲール多項式の諸性質と証明

　水素原子の動径方向の波動関数を求めるときに使われる、ラゲール(Laguerre)多項式などをまとめる。証明付きでよく使う式もまとめた。

　また、ラゲール多項式 $L_n(x)$ のみで数式が多くなったので、ラゲール陪多項式とラゲール関数については別に扱う。

ラゲール多項式と陪多項式の注意
ラゲールの微分方程式
- ラゲール多項式を導くラゲールの微分方程式
- ラゲール陪多項式を導く微分方程式
ラゲール多項式の諸性質と証明

ラゲール多項式と陪多項式の注意

　おもに、ラゲール多項式 $L_n(x)$ とラゲール陪多項式 $L_n^m(x)$ について学ぶ。 $L_n$ の肩に $m$ があるかどうか注意しておく。ただし、 $L_n^{m=0}=L_n(x)$ の関係は一応ある。 $m$ の有無は、微分方程式の中に $m$ が入っているかどうかでわかる。

　以下では、微分方程式とラゲール多項式について簡単にまとめた。

ラゲールの微分方程式

ラゲール多項式を導くラゲールの微分方程式

　ラゲールの微分方程式は

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2y}{dx^2}+(1-x)\frac{dy}{dx}+\nu y = 0 \quad\cdots\quad({\rm d1}) \end{eqnarray*}$

の形をしている。 $\nu$ は $0\leq \nu$ の整数のとき解が存在することが知られており、そのひとつの解はラゲール多項式 $L_n(x)$ によって表される。

ラゲール陪多項式を導く微分方程式

　次にラゲールの陪多項式に関する微分方程式をつくる。 $\nu=n$ として、上の微分方程式を $x$ について $m$ 回微分すると、左辺は

$\begin{eqnarray*} \frac{d^m}{dx^m}\left[x\frac{d^2y}{dx^2}+(1-x)\frac{dy}{dx}+n y\right] &=&\textcolor{blue}{\frac{d^m}{dx^m}\left(x\frac{d^2y}{dx^2}\right)} +\textcolor{red}{\frac{d^m}{dx^m}\left((1-x)\frac{dy}{dx}\right)}+n\frac{d^m y}{dx^m} \\ &=&\textcolor{blue}{m\frac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}+x\frac{d^{m+2}y}{dx^{m+2}}}\\ &&\quad\textcolor{red}{-m\frac{d^{m}y}{dx^{m}}+(1-x)\frac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}}\\ &&\quad\quad+n\frac{d^m y}{dx^m}\\ &=& x\frac{d^{m+2}y}{dx^{m+2}}+(m+1-x)\frac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}+(n-m)\frac{d^m y}{dx^m} \end{eqnarray*}$

式変形の途中、合成関数の $m$ 回微分を実行するときにライプニッツの定理（「二項定理の微分版」のようなもの）

$\begin{eqnarray*} \frac{d^m}{dx^m}(f(x)g(x))=\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k \frac{d^kf(x)}{dx^k}\,\frac{d^{m-k}g(x)}{dx^{m-k}} \end{eqnarray*}$

を用いた。

　得られた微分方程式

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^{m+2}y}{dx^{m+2}}+(m+1-x)\frac{d^{m+1}y}{dx^{m+1}}+(n-m)\frac{d^m y}{dx^m}=0 \quad\cdots\quad({\rm d2}) \end{eqnarray*}$

において $d^m y/dx^m \to y$ とすると、

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2y}{dx^2}+(m+1-x)\frac{dy}{dx}+(n-m)y=0 \quad\cdots\quad({\rm d2'}) \end{eqnarray*}$

となる。微分方程式(d2′)の解の一つはラゲール陪多項式 $L_n^m(x)$ になる。微分方程式に $n,m$ が含まれるため、多項式は $n,m$ の添え字をもつ。陪多項式とラゲール多項式 $L_n(x)$ の関係は

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)=\frac{d^m}{dx^m}L_n(x) \end{eqnarray*}$

である。

　以下、微分方程式(d2)の解のひとつが $y=L_n^m(x)$ になることを示す。

証明

微分方程式(d1)の解がラゲール多項式 $L_n(x)$ であったから、

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2L_n(x)}{dx^2}+(1-x)\frac{dL_n(x)}{dx}+n L_n(x) = 0 \quad\cdots \quad({\rm d1'}) \end{eqnarray*}$

が成り立つ。これを $m$ 回微分したものは式(d2)に $y=L_n(x)$ を代入したもので、

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^{m+2}L_n(x)}{dx^{m+2}}+(m+1-x)\frac{d^{m+1}L_n(x)}{dx^{m+1}}+(n-m)\frac{d^m L_n(x)}{dx^m}=0 \quad\cdots\quad({\rm d3}) \end{eqnarray*}$

となる。

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)\equiv\frac{d^m}{dx^m}L_n(x) \end{eqnarray*}$

と置けば、式(d3)より、

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2 L_n^m(x)}{dx^2}+(m+1-x)\frac{d L_n^m(x)}{dx}+(n-m)L_n^m(x)=0 \end{eqnarray*}$

となる。したがって、 $y=L_n^m(x)$ は微分方程式(d2′)を満たす解になっている。 $\blacksquare$

*これらの微分方程式はステュルム-リウヴィル型微分方程式に含まれる。

ラゲール多項式の諸性質と証明

　ラゲール多項式 $L_n(x)$ はラゲールの微分方程式を満たすである。

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2y}{dx^2}+(1-x)\frac{dy}{dx}+\nu y = 0 \quad\cdots\quad({\rm d1}) \end{eqnarray*}$

母関数

母関数は

$\begin{eqnarray*} \exp\left(-\frac{xt}{1-t} \right)=(1-t)\sum_n=0^\infty \frac{L_n(x)}{n!}t^n\quad\cdots\quad(*) \end{eqnarray*}$

となる。

多項式展開

母関数を使って

$\begin{eqnarray*} \frac{L_n(x)}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k n!}{(n-k)!(k!)^2}x^k\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}$

のように多項式展開できる。ここで、 $k$ についての和は $\infty$ の代わりに $n$ でも良い。なぜなら $n+1\leq k$ で

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k n!}{(n-k)!}&=&(-1)^k \cdot n(n-1)\cdots(n-k+1)\\ &=&-n(-n+1)(-n+2)\cdots(-n+k-1)\\ &=&0 \end{eqnarray*}$

となるためである(因数が $k$ 個あるため)。

証明

(*)より

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-t}\exp\left(-\frac{xt}{1-t} \right)=\sum_n^\infty \frac{L_n(x)}{n!}t^n \end{eqnarray*}$

である。左辺を展開して $t$ のベキで表そう。まず、左辺の $\exp$ をマクローリン展開して整理する。

$\begin{eqnarray*} ({\rm LHS})&=&\frac{1}{1-t}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(-\frac{xt}{1-t} \right)^k\\ &=&\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^k}{k! \textcolor{red}{(1-t)^{1+k}}}\\ &=&\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^k}{k!}\cdot \textcolor{red}{\sum_{l=0}^\infty \frac{t^l}{l!}(k+1)(k+2)\cdot\cdots\cdot(k+l)}\\ &=&\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^{(k+l)}}{k!l!}\textcolor{blue}{(k+1)(k+2)\cdot\cdots\cdot(k+l)}\\ &=&\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^{(k+l)} \textcolor{blue}{(k+l)!}}{(\textcolor{blue}{k!})^2 l!}\quad\cdots\quad(*') \end{eqnarray*}$

ここで、

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{1}{(1-t)^{1+k}}}&=&\sum_{l=0}^\infty \frac{t^l}{l!}\frac{d^l}{dx^l}\frac{1}{(1-t)^{1+k}}\Bigg|_{t=0}\\ &=& \sum_{l=0}^\infty \frac{t^l}{l!}(k+1)(k+2)\cdot\cdots\cdot(k+l) \end{eqnarray*}$

と

$\begin{eqnarray*} &&\textcolor{blue}{(k+1)(k+2)\cdot\cdots\cdot(k+l-1)(k+l)}\\ && \quad= (k+l)(k+l-1)\cdot\cdots\cdot(k+2)(k+1)\cdot\frac{k(k-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1}{k(k-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1}\\ &&\quad=\frac{(k+l)!}{k!} \end{eqnarray*}$

を利用した。

得られた(*)と(*’)から

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^{(k+l)}{(k+l)!}}{(k!)^2 l!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{L_n(x)}{n!}t^n \end{eqnarray*}$

となる。 $t^n$ の係数を比べるため、 $k+l=n\,(l=n-k)$ とすると、左辺の $t^n$ の係数は

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k t^{(k+l)}{(k+l)!}}{(k!)^2 l!}\to\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k n!}{(k!)^2 (n-k)!} \end{eqnarray*}$

となる( $\sum_l$ は $l=n-k$ の条件で消えるが、 $\sum_k$ は消えない)。したがって、

$\begin{eqnarray*} \frac{L_n(x)}{n!}= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k n!}{(k!)^2 (n-k)!} \end{eqnarray*}$

となる。 $\blacksquare$

便利な式

上の $L_n(x)$ の多項式展開を利用して

$\begin{eqnarray*} L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})\quad\cdots\quad(2) \end{eqnarray*}$

が得られる。

証明

左辺から右辺を導く。合成関数の微分については、上述したライプニッツの定理を利用する。最後に上で求めた $L_n(x)$ の多項式展開を利用する。

$\begin{eqnarray*} e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x}) &=&e^x\sum_{k=0}^{n} {}_nC_k \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}x^n \,\frac{d^{k}}{dx^{k}}e^{-x}\\ &=&e^x\sum_{k=0}^{n} \textcolor{blue}{{}_nC_k} \cdot n(n-1)\cdot\cdots\cdot (k+1)x^{k} \cdot (-1)^{k}e^{-x}\\ &=&\cancel{e^x}\sum_{k=0}^{n} \textcolor{blue}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} \cdot \frac{n!x^{k}}{k!} \cdot (-1)^{k}\cancel{e^{-x}}\\ &=&n!\cdot\textcolor{red}{\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^k n!}{(k!)^2 (n-k)!}}\\ &=&n!\cdot\textcolor{red}{\frac{L_n(x)}{n!}}\\ &=&L_n(x)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

上で説明したように、 $k$ の和は $\infty$ までとしても良い。

直交性、正規直交基底の導入

$\begin{eqnarray*} \phi_n(x)\equiv \frac{1}{n!}e^{-\frac{1}{2}x}L_n(x) \end{eqnarray*}$

は正規直交基底をなす。つまり、

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \phi_n(x)\phi_m(x)\, dx=\delta_{mn} \end{eqnarray*}$

となる。 $L_n(x)$ については直交基底である。つまり

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x}L_n(x)L_m(x)\,dx= \begin{cases} (n!)^2\quad(n=m)\\ 0 \quad(n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}$

である（規格化はされていない）。

　以下では $L_n(x)$ が直交系をなし、 $\phi_n(x)$ が正規直交していることを示す。基本的に式(2)を用いて、部分積分を複数回実行する。また、 $m\neq n$ としても一般性は失われない。

証明

$n\leq m$ とする。部分積分を $n$ 回の実行することで、

$\begin{eqnarray*} \frac{d^n}{dx^n}\to\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\to\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\to\cdots\frac{d^0}{dx^0} \end{eqnarray*}$

としていく。

合成関数の微分に注意しながら計算を進める。

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x}L_m(x)L_n(x)\, dx &=& \int_0^\infty e^x \frac{d^m}{dx^m}\left(x^m e^{-x}\right) \frac{d^n}{dx^n}\left(x^ne^{-x}\right)\,dx\\ &=& \cancelto{0}{\left[ e^x \frac{d^m}{dx^m}(x^me^{-x})\frac{d^{\textcolor{blue}{n-1}}}{dx^{\textcolor{blue}{n-1}}}(x^ne^{-x}) \right]_0^\infty}\\ &&\quad-\int_0^\infty \textcolor{red}{\frac{d}{dx}}\left( e^x\frac{d^m}{dx^m}(x^me^{-x}) \right) \frac{d^{\textcolor{blue}{n-1}}}{dx^{\textcolor{blue}{n-1}}}(x^ne^{-x})\,dx\\ &=& -\int_0^\infty e^x\left( \frac{d^m}{dx^m}+\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}} \right)(x^me^{-x})\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^ne^{-x})\,dx\\ &=&-\cancelto{0}{\left[ e^x \frac{d^m}{dx^m}(x^me^{-x})\frac{d^{\textcolor{blue}{n-2}}}{dx^{\textcolor{blue}{n-2}}}(x^ne^{-x}) \right]_0^\infty}\\ &&\quad+\int_0^\infty e^x\left( \frac{d^m}{dx^m}+\textcolor{red}{2}\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}+\frac{d^{m+2}}{dx^{m+2}} \right)\frac{d^m}{dx^m}(x^me^{-x}) \frac{d^{\textcolor{blue}{n-2}}}{dx^{\textcolor{blue}{n-2}}}(x^ne^{-x})\,dx\\ &=&\cdots\\ &=& (-1)^n\int_0^\infty \cancel{e^x}\left( \frac{d^m}{dx^m}+\textcolor{red}{n}\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}+\cdots+\frac{d^{m+n}}{dx^{m+n}} \right)(x^me^{-x})\cdot x^n \cancel{e^{-x}}\,dx\\ &=&(-1)^n\int_0^\infty x^n\sum_{k=0}^n {}_nC_k \frac{d^{m+k}}{dx^{m+k}}(x^me^{-x}) \,dx\\ &=&(-1)^n \sum_{k=0}^n {}_nC_k \int_0^\infty x^n\frac{d^{m+k}}{dx^{m+k}}(x^me^{-x}) \,dx \quad\cdots\quad(3) \end{eqnarray*}$

つぎに、最後の行の積分を $n$ 回部分積分する。

$\begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty x^n\frac{d^{m+k}}{dx^{m+k}}(x^me^{-x}) \,dx\\ &&\quad= \cancelto{0}{\left[x^n\frac{d^{m+k-1}}{dx^{m+k-1}}(x^me^{-x})\right]_0^\infty} -\int_0^\infty n x^{n-1} \frac{d^{m+k-1}}{dx^{m+k-1}}(x^me^{-1})\, dx\\ &&\quad=\cdots\\ &&\quad =(-1)^n n!\int_0^\infty \frac{d^{m+k-n}}{dx^{m+k-n}}(x^me^{-x})\, dx \end{eqnarray*}$

これを式(3)へ代入して、

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x} L_m(x)L_n(x)\, dx =n! \sum_{k=0}^n {}_nC_k \int_0^\infty \frac{d^{m+k-n}}{dx^{m+k-n}}(x^me^{-x})\, dx\quad\cdots\quad(3') \end{eqnarray*}$

となる。

つぎにこの積分を実行する。簡単のため $l=m+k-n$ 置いて

$\begin{eqnarray*} I_{l,m}\equiv \int_0^\infty \frac{d^l}{dx^l}(x^me^{-x})\,dx \end{eqnarray*}$

の振る舞いをみる。 $n\leq m$ かつ $0\leq k\leq n$ なので、 $0\leq l \leq m$ である。 (i) $1\leq l \leq m$ のとき：

$\begin{eqnarray*} I_{l,m}&=&\int_0^\infty \textcolor{red}{\frac{d}{dx}}\,\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^m e^{-x})\, dx\\ &=&\left[ \frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^me^{-x}) \right]_0^\infty\\ &=&\left[ \left( Ax^{m-l+1}+Bx^{m-l+2}+\cdots \right)e^{-x} \right]_0^\infty\\ &=&\left[ \left( Ax^{m-l}+Bx^{m-l+1}+\cdots \right)\textcolor{blue}{xe^{-x}} \right]_0^\infty\\ &=&0 \end{eqnarray*}$

ここで、 $l-1\leq m-1$ より、 $(x^me^{-x})$ を $(l-1)$ 回微分したときの関数が、因数として $xe^{-x}$ をもつことを利用した ( $xe^{-x}$ は $x=0,\infty$ で 0 になる)。 (ii) $l=0$ のとき：

$\begin{eqnarray*} I_{0,m}&=&\int_0^\infty x^m e^{-x}\,dx\\ &=&m!\quad(\Gamma(m+1)) \end{eqnarray*}$

となる。積分はガンマ関数 $\Gamma(n)$ の形をしており、部分積分を実行すれば容易に計算できる。

(i)(ii)の結果をまとめて

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{d^{m+k-1}}{dx^{m+k-n}}(x^me^{-x})\,dx= \begin{cases} m!\quad(m+k-n=0)\\ 0\quad(1\leq m+k-n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}$

となる。

$\begin{eqnarray*} 0\leq k \quad &\Leftrightarrow& \quad m-n \leq k+m-n=0\\ &\Leftrightarrow& m\leq n \end{eqnarray*}$

であり、 $n\leq m$ としていたので、 $\textcolor{red}{m=n}$ である。また、このとき、 $k=0$ になる。これらの結果をまとめると、 $m=n$ かつ $k=0$ のときのみ積分がゼロでない $m!(=n!)$ となることがわかる。

したがって $n=m$ のとき、式(3′)より、

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x} L_m(x)L_n(x)\, dx &=&n! {}_nC_{\textcolor{red}{0}} \int_0^\infty \frac{d^{\textcolor{red}{0}}}{dx^{\textcolor{red}{0}}}(x^me^{-x})\, dx\\ &=&n! \cdot 1\cdot n!\\ &=&(n!)^2 \end{eqnarray*}$

これより、 $L_n(x)$ の直交性

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x} L_m(x)L_n(x)\, dx=\begin{cases} (n!)^2\quad(n=m)\\ 0\quad (n\neq m) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

また、 $\phi_n(x)=e^{-\frac{1}{2}x}L_n(x)/n!$ と定義すれば、 $\phi_n(x)$ が正規直交基底をなすこともわかる。

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \phi_m(x)\phi_n(x)\, dx=\begin{cases} 1\quad(n=m)\\ 0\quad (n\neq m) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

はじめの5項の値

はじめの５つ程度の項を具体的に書いておく。

$\begin{eqnarray*} L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x}) \end{eqnarray*}$

を用いて簡単に求めることができる。

$\begin{eqnarray*} L_0(x)&=&1\\ L_1(x)&=&-x+1\\ L_2(x)&=&x^2-4x+2\\ L_3(x)&=&-x^3+9x^2-18x+6\\ L_4(x)&=&x^4-16x^3+72x^2-96x+24 \end{eqnarray*}$

ラゲール多項式と陪多項式の注意

ラゲールの微分方程式

ラゲール多項式を導くラゲールの微分方程式

ラゲール陪多項式を導く微分方程式

ラゲール多項式の諸性質と証明

母関数

多項式展開

便利な式

直交性、正規直交基底の導入

はじめの5項の値

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