フーリエ積分(フーリエ変換)に現れる に関して、 その以下の直交性を示さなくてはならない。 少々、テクニカルだが覚えておきたい。
直交性
直交性の証明
ここでの基底はのように
倍したものを用いる。
では扱いにくいため、積分区間を変えよう。
あとで、と取れば良い。
この積分を単純に計算していく
最後の等号については「補足」を参考にされたい。 この結果から基底はは直交する。
*いま、考えているは連続であるため
直交性はデルタ関数
によって表されている。
複素フーリエ級数のような離散的な
を扱っている場合は
クロネッカーのデルタ
に置き換わることにも注意する。
**いまの基底の取り方(因子つき)では
に関する積分でも規格直交している。
簡単な補足:デルタ関数
上式の最後の行でデルタ関数の定義の1つとして以下の極限
を用いた(図を参照)。

この右辺がデルタ関数の定義
を満たすことは、実際に計算してみればわかる。
となり、確かにデルタ関数の定義を満たす。
*最後の積分には、以下のディリクレ積分を利用した。
この積分は、複素積分を利用することで解くことができる。
まとめ
が入ると途端に取り扱いが難しくなる。 ここでもややテクニカルな手法を用いているため注意したい。
得られた結果自体はよく知られた重要なものである。