【多変数関数】よくわかる包絡線／包絡線の求め方／特異点

　包絡線の求め方を例題を通して習得する。求め方は媒介変数を消去すればいいのだが、なぜだろうか。ここでは、包絡線について説明して、その求め方を解説していく。最後に例題の解答を行う。例題は以下の通り。

例題

以下の曲線群の包絡線を求めよう（ $a$ はパラメータ）。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad y=(x-a)^2 + a\\ &&(2)\quad y^5 = a(x-a)^3 \end{eqnarray*}$

1. 包絡線とは何か
- 逆から考える
- いくつかの包絡線の例
2. 包絡線の求め方
3. 例題の解答
- 例題(1)の解答
- 例題(2)の解答
4. まとめ

1. 包絡線とは何か

　包絡線について簡単に説明する。

逆から考える

　包絡線を求めるとは、与えられた「曲線の集まり」に接する曲線を求めることである。逆から考えると、包絡線の各点の接線は与えられた「曲線の集まり」になる。

　放物線を例にとって見てみる。放物線のある点での接線を求める問題は高校でよく習う。下図の真ん中に、いろいろな点で接線を求めてみた場合を書いた。

　図の右のように、得られた接線の集まりから元の放物線を消し去ってみよう。包絡線を求める問題は、「元の放物線を取り戻す」ことである。

いくつかの包絡線の例

　実際には、与えられる曲線群は接線とは限らない。ここでは例として、楕円群や放物線群の包絡線を下に示しておこう。

2. 包絡線の求め方

１本の接線が定まる条件と「特異点」

　与えられた曲線

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

について、ある点で１本の接線がある条件を考える。

この式を微分すると

$\begin{eqnarray*} df(x,y)=0\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0 \end{eqnarray*}$

である。したがって、 $f_y\equiv \frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$ のとき、

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y} \end{eqnarray*}$

の傾きを持った接線が存在する。また、 $f_y=0$ であっても、 $f_x\neq 0$ であれば、

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}=-\frac{f_y}{f_x} \end{eqnarray*}$

の接線が存在する。

したがって、１本の接線が定まらない条件は $(x,y)$ が

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0,\quad f_x(x,y)=0, \quad f_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

となる点である。この点を特異点と呼ぶ。つまり、特異点では接線が存在しない。

曲線群の表し方と媒介変数（パラメータ）

例として楕円を考える。楕円

$\begin{eqnarray*} 4x^2+\frac{y^2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

は楕円群

$\begin{eqnarray*} ax^2+\frac{y^2}{a}=1 \end{eqnarray*}$

の中に含まれている。つまり、 $a=4$ のときの楕円である。

上の楕円を表す曲線を

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=4x^2+\frac{y^2}{4}-1=0 \end{eqnarray*}$

とすれば楕円群を表す式は

$\begin{eqnarray*} f(x,y,\textcolor{red}{a})=ax^2+\frac{y^2}{\textcolor{red}{a}}-1=0 \end{eqnarray*}$

となる。曲線群は $f(x,y,a)=0$ で表すことができ、 $a$ を変えることによって色々な曲線を作ることができる。

包絡線を求めるための条件を考える。まず曲線群の中から $a=t,\,u(\neq t)$ に対応する２つの曲線を考える。

$\begin{eqnarray*} f(x,y,t)=0,\quad f(x,y,u)=0 \end{eqnarray*}$

２つの曲線の交点は

$\begin{eqnarray*} f(x,y,t)=f(x,y,u)=0 \end{eqnarray*}$

である。

この式は $t\neq u$ であるため、

$\begin{eqnarray*} f(x,y,t)-f(x,y,u)=0\quad\Leftrightarrow\quad \frac{f(x,y,t)-f(x,y,u)}{t-u}=0 \end{eqnarray*}$

とかける。ここで、 $u\to t$ とする。つまり、一方の曲線の形をもう一方の曲線に限りなく近づける。

$\begin{eqnarray*} \lim_{u\to t}\frac{f(x,y,t)-f(x,y,u)}{t-u}=\frac{\partial f(x,y,t)}{\partial t}=0 \end{eqnarray*}$

この条件は考えている２曲線に関する条件である（ちょっとズレた２曲線に接する曲線を求めるイメージ）。実際には無数にある曲線に接する曲線（包絡線）を求めたい。したがって、曲線群に対しては

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{f_a(x,y,a)\equiv \frac{\partial f(x,y,a)}{\partial a}=0} \end{eqnarray*}$

の条件を課す。

以上をまとめて

ポイント

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} f(x,y,a)=0\\ f_a(x,y,a)=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

から媒介変数（パラメータ） $a$ を消去して、曲線群 $f(x,y,a)=0$ の包絡線を得る。

*見ての通り２条件ある。そのイメージを書いておく。まず $a$ を固定して、何かの曲線を考えよう。１番目の式が「考えている $a$ の曲線に接する（交点を持つ）」条件で、２番目の式が、「考えている $a$ の曲線とその隣の $a+da$ の２曲線に接する」条件である。実際には無数に $a$ があるため、媒介変数としての $a$ は消去される。

包絡線の求め方まとめ

解き方をまとめておこう。

曲線群の包絡線の求め方

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} f(x,y,a)=0\\ f_a(x,y,a)=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

から $a$ を消去すると包絡線が求められる。ただし、 $f(x,y,a)=0$ の特異点の軌跡を除く。ここで、特異点は以下の条件を満たす点である。

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0,\quad f_x(x,y)=0, \quad f_y(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

3. 例題の解答

(2)は特異点を除くことを忘れないように。

例題(1)の解答

与えられた曲線群：

$\begin{eqnarray*} y=(x-a)^2+a \end{eqnarray*}$

これは放物線であるため特異点はない。

$f(x,y,a)=0$ の形（条件１）：

$\begin{eqnarray*} f(x,y,a)=(x-a)^2-y+a=0 \end{eqnarray*}$

$f_a(x,y,a)=0$ の形（条件２）：

$\begin{eqnarray*} &&f_a(x,y,a)=-2(x-a)+1=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& x-a=\frac{1}{2}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& a=x-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$a$ を消去（条件１へ代入）：

$\begin{eqnarray*} &&\left(-\frac{1}{2}\right)^2-y+\left(x-\frac{1}{2}\right)=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& y=x-\frac{1}{4}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

*与えられた放物線群の一部と求めた包絡線 $y=x-\frac{1}{4}$ を下図に示す。

例題(2)の解答

与えられた曲線群：

$\begin{eqnarray*} y^5 = a(x-a)^3 \end{eqnarray*}$

$f(x,y,a)=0$ の形（条件１）：

$\begin{eqnarray*} f(x,y,a)=a(x-a)^3-y^5 \end{eqnarray*}$

$f_a(x,y,a)=0$ の形（条件２）：

$\begin{eqnarray*} &&f_a(x,y,a)=(x-a)^3-3a(x-a)^2=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& (x-a)^2\left\{(x-a)-3a\right\}=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \begin{cases} x-a=0\\ x-4a=0 \end{cases}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \begin{cases} a=x\\ a=\frac{x}{4} \end{cases} \end{eqnarray*}$