外場中の双極子モーメント（トルクを使わないU=-p•Eの導出）

　双極子モーメントの外場中でのポテンシャルエネルギーを考える。ここでは、導出にはトルク ${\bf N}={\bf p}\times{\bf E}$ は用いない。電場中の電気双極子モーメントでも、磁場中の磁気双極子モーメントでも同じ形になる。

外場中の双極子モーメント

外場 ${\bf E}$ 中にある双極子モーメント ${\bf p}$ のポテンシャルは以下で与えられる。

$\begin{eqnarray*}U=-{\bf p}\cdot{\bf E}\end{eqnarray*}$

1. トルクを使わない導出
2. まとめ

1. トルクを使わない導出

　図のように電場 $\bf E$ から傾いた電気双極子モーメント $\bf p$ のポテンシャルは、 ${\bf E}$ と ${\bf p}$ の内積の逆符号である。

　以下では $U=-{\bf p}\cdot{\bf E}$ を導出しよう。

1.1 無限遠から運んでくる

　簡単に言って、電気双極子モーメントは $+q$ の点電荷と $-q$ の点電荷のペアである。点電荷は無限遠でポテンシャルを 0 に定義していることを思い出そう。

最終的に③の状態になるまでどれだけ仕事したか、を考える。

①：無限遠にある双極子モーメント（２つの点電荷）、ポテンシャルは無限遠を 0 にとる。

②：無限遠から原点まで運んでくる。点電荷は電場から $\pm qE$ の静電気力を電場方向 ${\bf E}$ に受ける。

電場に垂直な方向：仕事ゼロ
電場と並行な方向： $+qE$ と $-qE$ の仕事は逆符号で相殺してゼロ

したがって、電場と垂直な双極子モーメントをポテンシャル 0（基準）として、電場方向に双極子モーメントを傾けていく。

③：電場と双極子モーメントのなす角が $\theta$ の状態（目的の状態）

1.2 双極子モーメントを傾ける

　図に全部描いてしまったが。双極子モーメントは赤矢印で ${\bf p}=q{\bf d}$ で表されている（ $d=|{\bf d}|$ ）。

双極子モーメント：赤矢印、両端に $+q$ と $-q$ の点電荷、双極子モーメントの中点（ $\textcolor{blue}{\frac{d}{2}}$ ）を軸に回転
電場 ${\bf E}$ により２つの点電荷はそれぞれ逆方向に力 $qE$ を受ける
電場方向の電荷の移動距離は $\textcolor{blue}{\frac{d}{2}\cos\theta}$
電場垂直方向の移動については仕事 0

したがって電場 ${\bf E}$ にある電気双極子モーメント ${\bf p}=q{\bf d}$ のポテンシャルは、

$\begin{eqnarray*} U&=&2\left[\textcolor{red}{-}qE\cdot\frac{d}{2}\cos\theta\right]\\ \\ &=& \textcolor{red}{-}qdE\cos\theta \\ \\ &=& \textcolor{red}{-}{\bf p}\cdot {\bf E} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$