【微分方程式】例題で学ぶ「変数分離形」の解法

ここでは、「変数分離形」の微分方程式を例題を使って学習する。いろいろな微分方程式がこのタイプに帰着することがあるので、解けるようにしておきたい。

例題

次の変数分離形の微分方程式を解いて、一般解を求めよ。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\\ &&(2)\quad\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^2+1}\\ &&(3)\quad\frac{dy}{dx}=x^2 y^2\\ \end{eqnarray*}$

1. 変数分離形
- 変数分離形とは何か
- 変数分離形の解き方
2. 例題の解答
3. まとめ

1. 変数分離形

　よく出てくるタイプなので絶対におさえておくこと。

変数分離形とは何か

　変数分離形は下のようなタイプで、 $x$ と $y$ を分離できる。

変数分離形の形

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \end{eqnarray*}$

　この微分方程式の右辺は見ての通り、 $x$ のかたまりと $y$ のかたまりに分けることができる。

例：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\\ &&\frac{dy}{dx}=(x^2+1)(y^2+1)\\ &&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2-1}\\ &&\frac{dy}{dx}=e^{2y} \end{eqnarray*}$

$f(x),g(y)$ が定数の場合もある。

　したがって、

$\begin{eqnarray*} &&\frac{dy}{dx}=C\cdot g(y) \\\\ &&\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot C \end{eqnarray*}$

もまた変数分離形の仲間であり、ここで学ぶ解法が使える。

変数分離形の解き方

　あたかも $dy,dx$ が項であるかのように、与えられた式を変形しよう。

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&f(x)g(y)\\\\ \frac{\textcolor{red}{dy}}{g(y)}&=&f(x)\textcolor{red}{dx} \end{eqnarray*}$

　両辺に積分記号をつける。

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \,dx \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　これが変数分離形の解き方である。

変数分離形の解き方

$y$ に関する式は左辺に、 $x$ に関する式は右辺に集めれば良い。そのあと両辺を積分して解を求める。

式変形では、あたかも $dy,dx$ が項であるかのように扱う。

* $dy/dx$ を一つの項として扱うのであれば、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{g(y)}\,\frac{dy}{dx}=f(x) \end{eqnarray*}$

と変形して、両辺を $x$ で積分すれば、

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{g(y)} \,\frac{dy}{dx}\, dx=\int f(x) \,dx \end{eqnarray*}$

となり、

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

に一致する。

2. 例題の解答

　ここではあたかも $dx,dy$ を独立な項であるかのように書いて解答する。

例題(1)の解答

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&\frac{y}{x} \\\\ \frac{dy}{y}&=&\frac{dx}{x}\\\\ \int \frac{dy}{y}&=&\int \frac{dx}{x}\\\\ \log |y|&=&\log |x| + C' \end{eqnarray*}$

ここで絶対値に注意する。また、不定積分の $C'$ を忘れない。

$\log$ を外す。

$\begin{eqnarray*} |y|&=&e^{\log|x|+C'}\\\\ &=&e^{\log|x|}\,e^{C'}\\\\ &=&e^{C'}|x| \end{eqnarray*}$

絶対値を外す。

$\begin{eqnarray*} y&=&\pm e^{C'}x\\\\ &=&Cx\quad(C\equiv \pm e^{C'})\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

* 最後の行で定数 $C$ を $C'$ を用いて置いた。ここで $C$ は０を含めたすべての実数をとる。というのも $C=0$ に対応する $y=0$ は元々の微分方程式の解になっているからである。

例題(2)の解答

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&\frac{y}{x^2+1}\\\\ \frac{dy}{y}&=&\frac{dx}{x^2+1}\\\\ \int \frac{dy}{y}&=&\int \frac{dx}{x^2+1}\\\\ \log |y| &=& \tan^{-1} x + C' \end{eqnarray*}$

$\log$ をとって、絶対値を外す：

$\begin{eqnarray*} |y|&=&e^{\tan^{-1} x+C'}\\\\ &=&e^{C'}e^{\tan^{-1} x}\\\\ \therefore \quad y&=&Ce^{\tan^{-1}x} \quad(C=\pm e^{C'})\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

* $C$ は $C=0$ を含むすべての実数である。 $C=0$ に対応する $y=0$ はもともとの微分方程式の解になっている。

例題(3)の解答

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&x^2y^2\\\\ \frac{dy}{y^2}&=&x^2 dx\\\\ \int \frac{dy}{y^2}&=& \int x^2 dx\\\\ -\frac{1}{y}&=& \frac{1}{3}x^3 + C' \end{eqnarray*}$

$C'$ はすべての実数。

$y=$ の形に直しておく。

$\begin{eqnarray*} y&=&\frac{-1}{\frac{1}{3}x^3+C'}\\\\ &=&\frac{3}{-3C'-x^3}\\\\ &=&\frac{3}{C-x^3}\quad(C=-3C')\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

* 得られた $y$ を微分してチェックすることは計算ミスを防ぐ上で重要である。

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left[\frac{3}{C-x^3}\right] &=&\frac{9x^2}{(C-x^3)^2}\\\\ &=&x^2 \left(\frac{3}{C-x^3}\right)^2\\\\ &=&x^2 y^2 \end{eqnarray*}$

確かに、微分方程式を満たす。

3. まとめ

　変数分離形の解法は、最も基本的な微分方程式の解き方のひとつである。より難しい微分方程式も、変数分離形に帰着させて解くといったことが頻繁にあるため、変数分離形はマストで解けるようにしておかなければならない。

1. 変数分離形

変数分離形とは何か

変数分離形の解き方

2. 例題の解答

例題(1)の解答

例題(2)の解答

例題(3)の解答

3. まとめ

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