複素積分：∮1/(z-a)^n dz の計算

　コーシーの積分公式などに関係する計算。これは留数定理にも関係する話。下の式において、積分経路 $C$ 内に $z=z_0$ がある場合を考える。積分経路の外に $z_0$ がある場合は積分は $0$ になる。

(z-z0)^n の複素積分

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{dz}{(z-z_0)^n}= \begin{cases} 2\pi i \quad(n=1)\\ 0\quad(n\neq 1) \end{cases} \end{eqnarray*}$

　上のように、 $C$ ： $|z-z_0|=1$ の単位円として考える。このとき複素積分を具体的に計算したければ、

$\begin{eqnarray*} z-z_0=e^{i\theta}\quad(0\leq \theta \leq 2\pi) \end{eqnarray*}$

と積分変換して計算すれば良い。ここで、

$\begin{eqnarray*} dz=ie^{i\theta}\, d\theta \end{eqnarray*}$

$n=1$ のとき：

$\begin{eqnarray*} \oint_{|z-z_0|=1} \frac{dz}{(z-z_0)} &=& \int_0^{2\pi} \frac{i\cancel{e^{i\theta}}}{\cancel{e^{i\theta}}}d\theta\\\\ &=& i\int_0^{2\pi}\,d\theta\\\\ &=&2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

$n\neq 1$ のとき：

$\begin{eqnarray*} \oint_{|z-z_0|=1} \frac{dz}{(z-z_0)^n} &=& \int_0^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{in\theta}}\,d\theta\\\\ &=& i\int_0^{2\pi} e^{-i(n-1)\theta}\, d\theta\\\\ &=& i\left[-\frac{i}{n-1}e^{-i(n-1)\theta}\right]_0^{2\pi}\\\\ &=& -\left\{ e^{-2(n-1)\pi i}-e^0 \right\}\\\\ &=& -\left\{ \left(e^{-2\pi i})^{(n-1)}-e^0 \right\}\\\\ &=& 0 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

以上より、

(z-z0)^n の複素積分

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{dz}{(z-z_0)^n}= \begin{cases} 2\pi i \quad(n=1)\\ 0\quad(n\neq 1) \end{cases} \end{eqnarray*}$

を得る。

これの結果を利用するといくつかの複素積分が実行できる。

「sin(z)/z」「e^z/z」「1/z^3」の |z|=1上の複素積分

【複素積分】∮1/(z-a)^n dz の計算

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