【積分】三次関数と直線が３交点をもつとき、囲まれた領域の面積の「和」

　図の $S_1$ と $S_2$ の面積の和を求めたい。

　ちなみに、 $S_1=S_2$ となるのは $\gamma$ が三次関数の変極点になるとき。

1. 積分計算
2. まとめ

1. 積分計算

　３つ交点がある場合の面積を考えよう。交点の $x$ 座標をそれぞれ、 $\alpha,\beta,\gamma\,(\alpha<\gamma<\beta)$ としておく。

　２つの領域に分けてそれぞれの面積 $S_1,S_2$ を求める。以下に注意する。

関数の差のもつ因数は、 $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
（上の式）-（下の式）に注意
３次関数の $x^3$ の係数は $a<0$ とする

S1 について

$\begin{eqnarray*} S_1&=&\int_{\alpha}^{\gamma} -a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \, dx\\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} \left\{(x-\gamma)-(\alpha-\gamma)\right\}(x-\beta)(x-\gamma) \, dx \\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} (x-\gamma)^2(x-\beta) \, dx +a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\beta)(x-\gamma)\, dx \\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} (x-\gamma)^2\left\{(x-\gamma)-(\beta-\gamma)\right\} \, dx \\ &&+a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)\left\{(x-\gamma)-(\beta-\gamma)\right\} \, dx\\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^3\,dx +a(\beta-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^2 \,dx \\ &&+a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^2 \, dx -a(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)\,dx \\ \\ &=& +\frac{a}{4}(\alpha-\gamma)^4-\frac{a}{3}(\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)^3\\ &&-\frac{a}{3}(\alpha-\gamma)^4 +\frac{a}{2}(\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)^3 \\ \\ &=& \frac{a}{12}(\alpha-\gamma)^3 \left\{ 3(\alpha-\gamma)-4(\beta-\gamma)-4(\alpha-\gamma)+6(\beta-\gamma)\right\}\\ \\ &=& \frac{a}{12}(\alpha-\gamma)^3(-\alpha+2\beta-\gamma) \\ \\ &=& \frac{-a}{12}(\gamma-\alpha)^3 (2\beta-\alpha-\gamma) \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　 $\alpha<\gamma<\beta$ 、 $a<0$ より面積 $S>0$ になる。

　 $\beta\rightarrow\gamma$ でいわゆる1/12公式になる。

S2 について

$S_1$ の結果を利用する。

積分区間　 $\alpha\right\gamma$ を $\gamma\right\beta$ にする
（上の式）-（下の式）を入れ替える（符号を逆にする）

途中（上の計算の５個目の等号）までは同じである。

$\begin{eqnarray*} S_2&=& a\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^3\,dx -a(\beta-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^2 \,dx \\ &&-a(\alpha-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^2 \, dx +a(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)\,dx \\ \\ &=& +\frac{a}{4}(\beta-\gamma)^4-\frac{a}{3}(\beta-\gamma)^4\\ &&-\frac{a}{3}(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^3 +\frac{a}{2}(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^3 \\ \\ &=& \frac{a}{12}(\beta-\gamma)^3 \left\{-\beta+\gamma+2(\alpha-\gamma)\right\}\\ \\ &=& \frac{-a}{12}(\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　 $S_1$ と同じく $\alpha<\gamma<\beta$ 、 $a<0$ より面積 $S>0$ になる。

　 $\alpha\rightarrow\gamma$ でいわゆる1/12公式になる。

S1 + S2 の計算

　 $S_1$ と $S_2$ 足すのはしんどいですね。

$\begin{eqnarray*} S&=&S_1+S_2\\\\ &=& \frac{-a}{12}(\gamma-\alpha)^3 (2\beta-\alpha-\gamma) + \frac{-a}{12}(\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\\ \\ &=& \frac{-a}{12}\left\{ (\gamma-\alpha)^3(2\beta-\alpha-\gamma)+ (\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha) \right\} \end{eqnarray*}$

$\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}+q$ と置くと、

$\begin{eqnarray*} &&(\gamma-\alpha)^3(2\beta-\alpha-\gamma)+ (\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\\ \\ &=& +\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+q-\alpha\right)^3 \left(2\beta-\alpha-\frac{\alpha+\beta}{2}-q\right)\\ &&+\left(\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}-q\right)^3 \left(\beta+\frac{\alpha+\beta}{2}+q-2\alpha\right)\\ \\ &=& +\left(\frac{\beta-\alpha}{2}+q\right)^3 \left(\frac{3}{2}(\beta-\alpha)-q\right)\\ &&+\left(\frac{\beta-\alpha}{2}-q\right)^3 \left(\frac{3}{2}(\beta-\alpha)+q\right) \end{eqnarray*}$

である。 $\frac{\beta-\alpha}{2}=p$ と置くと、

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{-a}S&=& +(p+q)^3 \left(3p-q\right)\\ &&+(p-q)^3 \left(3p+q\right)\\ \\ &=& +(p^3+3p^2q+3pq^2 +q^3)\left(3p-q\right)\\ &&+(p^3-3p^2q+3pq^2-q^3)\left(3p+q\right)\\\\ &=& 3p\cdot 2(p^3+3pq^2) -q\cdot 2(3p^2q+q^3)\\ \\ &=& 6p^4+18p^2q^2-6p^2q^2-2q^4 \\ \\ &=& 6p^4+12p^2q^2-2q^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \therefore \; S=\frac{-a}{12}\left(6p^4+12p^2q^2-2q^4\right) \end{eqnarray*}$

　この答えを確かめるために、 $\gamma\rightarrow\beta$ とする。このとき、

$\begin{eqnarray*} q=\gamma-\frac{\beta+\alpha}{2}=\frac{\beta-\alpha}{2}=p \end{eqnarray*}$

であるので、

$\begin{eqnarray*} S&=&\frac{-a}{12}\cdot 16p^4\\ \\ &=&\frac{-a}{12}\cdot 16\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\\ \\ &=&\frac{-a}{12}(\beta-\alpha)^4 \end{eqnarray*}$

で 1/12公式に一致する。

$p,q$ を使ったものを最終的な答えにしておこう。

S1+S2の面積

$\begin{eqnarray*} S&=&2(3p^4+6p^2q^2-q^4)\\ \\ p&=&\frac{\beta-\alpha}{2}\\ \\ q&=&-\frac{\beta+\alpha-2\gamma}{2} \end{eqnarray*}$

2. まとめ

　これは公式やらあるのだろうか。

1. 積分計算

S1 について

S2 について

S1 + S2 の計算

2. まとめ

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