忘れない。絵で理解するベイズの定理。

　ベイズの定理を学びましょう。はじめに迷惑メールの例をとって、条件付き確率を説明していきます。その後、事象がどのようになっているかを絵で学び、どのようにベイズの定理を導出するか考えていきます。最後まで読んで頂ければ、非常に簡単な内容になっていることがわかるでしょう。

ベイズの定理

$\begin{eqnarray*}P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\end{eqnarray*}$

　式を見ても覚えられない人は、絵で公式を理解すれば忘れないでしょう。

1. ベイズの定理
1.1 条件付き確率
1.2 絵で理解する
1.3 結果から因果を見る
2. 例題1
3. まとめ

1. ベイズの定理

　統計学では、原因（因果）から結果を見る。しかし、ベイズの定理では、結果から原因を考えるのである。

例えば、迷惑メールを例にとろう。

$P(A)$ ：「メールが迷惑メールである」確率
$P(B)$ ：「メールの文章に”お金”の文字を含む」確率
$P(A\cap B)$ ：「迷惑メールであり」「メールの文章に”お金”の文字を含む」確率

である。まず、原因 $\rightarrow$ 結果については、

「メールが迷惑メールである」 $\rightarrow$ 「メールの文章に”お金”の文字を含む」確率

であろう。しかし、実際に迷惑メールを見分ける時に必要なのは、

「メールの文章に”お金”の文字を含む」 $\rightarrow$ 「メールが迷惑メールであった」確率

である。つまりこの場合、結果 $\rightarrow$ 原因が重要なのである。

一般化して、事象 $A$ を原因、事象 $B$ を結果とすれば、統計学とベイズの違いがわかる。

統計学とベイズの大まかな違い

統計学： $A\rightarrow B$ （原因から結果を予測）
ベイズ： $B\rightarrow A$ （結果から原因を予測）

1.1 条件付き確率

　条件付き確率は、ある事象が起こったときに別の事象が起こる確率を意味する。たとえば、統計学的な「メールが迷惑メールであるとき、そのメールの文章に”お金”の文字を含む」確率は条件付き確率である。
これは、 $A\rightarrow B$ に対応する条件付き確率で、 $P(B|A)$ で表す。記号 “|” の右( $A$ )が起こったという条件のもと、 $B$ である確率を意味する。矢印の方向と $(B|A)$ が逆なので注意してほしい。

　ベイズ的に見た、「メールの文章に”お金”の文字を含むとき、そのメールが迷惑メールであった」確率もまた条件付き確率である。
これは、 $B\rightarrow A$ に対応する条件付き確率で、 $P(A|B)$ で表す。

条件付き確率を見る

$\quad P(A|B)$ ： $B$ が起こったという条件で $A$ が起こる確率
$\quad P(B|A)$ ： $A$ が起こったという条件で $B$ が起こる確率
(条件となる事象は”|”の右に置くことに注意する。)

1.2 絵で理解する

　ベイズの定理を絵から導こう。事象 $A$ を原因、　事象 $B$ を結果とする。そうすると全事象

$A$ が起こるか起こらない
$B$ が起こるか起こらない

しかないので、下図のように4つに分類される。

　赤枠で囲った部分が、 $P(A\cap B)$ ：「迷惑メールであり」「メールの文章に”お金”の文字を含む」確率である。この確率は、
① $A$ が起こる
② $A$ が起こった後（条件）で $B$ が起こる
確率である。まず、「① $A$ が起こる」確率は、

の青の射線に対応する領域である。

続いて、「② $A$ が起こった後（条件）で $B$ が起こる」確率は、

のように、青の射線の中（条件）でオレンジの射線に対応する領域である。したがって、条件付き確率 $P(B|A)$ により $P(A\cap B)$ を表すことができる。つまり、 $P(A\cap B)$ は①の確率 $P(A)$ と②の確率 $P(B|A)$ の積である。

条件付き確率で $P(A\cap B)$ を表す（その1）

$\begin{eqnarray*}P(A\cap B)=P(B|A)P(A)\end{eqnarray*}$

　いま、 $A$ が先に起こる考えたが、 $B$ を先に起こると考えても良いはずである。したがって、 $P(A\cap B)$ は、
①’ $B$ が起こる
②’ $B$ が起こった後（条件）で $A$ が起こる
の確率としても表現できそうである。上と同様に、「①’ $B$ が起こる」確率は

の青の射線に対応する領域である。

続いて、「②’ $B$ が起こった後（条件）で $A$ が起こる」確率は、

のように、青の射線の中（条件）でオレンジの射線に対応する領域である。したがって、 $P(A\cap B)$ を①’の確率 $P(B)$ と②’の確率 $P(A|B)$ の積でも表すことができる。

条件付き確率で $P(A\cap B)$ を表す（その2）

$\begin{eqnarray*}P(A\cap B)=P(A|B)P(B)\end{eqnarray*}$

上の2つパターンをまとめると、

となり、「確率を、縦から見るか？横から見るか？」*1の違いである。 $P(A\cap B)$ は2つの表し方ができる。

$P(A\cap B)$ を2通りに表す

$\begin{eqnarray*}P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\quad \cdots (*)\end{eqnarray*}$

1.3 結果から因果を見る

ベイズが知りたいのは、結果から原因（因果）であった。すなわち、結果 $B$ が起こった時に原因が $A$ である条件付き確率 $P(A|B)$ であった。上の式(*)の2つめの”=”の関係からベイズの定理が導ける。(両辺を $P(B)$ で割る。)

ベイズの定理

$\begin{eqnarray*}P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\end{eqnarray*}$

絵を描いたら簡単に求められたと思いませんか。

$P(A|B)$ は、結果から原因を導く確率として「事後確率」とよばれる。何か事象が起こった後に、原因が何か突き止めるときに使われる。

2. 例題1

例題を作ったので解いてみてほしい。

例題（月曜日から大惨事）

私は月曜から金曜日まで週に $5$ 回、朝食にピザトーストを食べる。週に1回必ずトーストを落とすとする。月曜日にトーストを落としたとき、具材がのっている側が床に落ちる確率は $\frac{4}{5}$ である。火曜から金曜日にトーストを落としたときに、具材面が床につく確率は $\frac{2}{3}$ であるとする。具材面が床につく時、その日が月曜日である確率を求めよ。

問題の様子は下のようになる。*2

【解答】
問題文より確率を下のように決める。

$P(A)=\frac{1}{5}$ ：月曜日にトーストを落とす確率
$P(\overline{A})=\frac{4}{5}$ ：火曜日から金曜日にトーストを落とす確率
$P(B|A)=\frac{4}{5}$ ：月曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
$P(B|\overline{A})=\frac{2}{3}$ ：火曜日から金曜に落としたトーストの具材面が床につく

求めたい確率は、

$P(A|B)$ ：トーストの具材面が床についたとき、その日が月曜日である確率

である。以下のベイズの定理を利用する。

$\begin{eqnarray*}P(A|B)=\frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}\end{eqnarray*}$

しかし、分母の $P(B)$ は上に決めた確率の中にない確率である。したがって、一手間必要である。

ベイズの定理の分母 $P(B)$ を求める

ベイズの定理を利用する問題では、 $P(B)$ は直接与えられていないことがある。しかし、以下の関係により簡単に求めることができる。

$\begin{eqnarray*}P(B)=P(B|A)+P(B|\overline{A})\end{eqnarray*}$

この場合、 $P(B)$ の意味するところは、「トーストの具材面が床につく」確率である。いまの場合、
① 月曜日にトーストを落として、具材面が床につく確率 $P(B|A)$
② 火曜日から金曜日にトーストを落として、具材面が床につく確率 $P(B|\overline{A})$
の和で与えられる。図の①②に対応する。

以上より、

$\begin{eqnarray*}P(A|B)&=&\frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}\\ \\&=& \frac{P(B|A)\,P(A)}{P(B|A)+P(B|\overline{A})} \\ \\&=& \frac{\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}}{\frac{4}{5}+\frac{2}{3}} \\ \\&=& \frac{6}{55}\end{eqnarray*}$

結局、「トーストの具材面が床についたとき、その日が月曜日である確率」は $\frac{6}{55}\fallingdotseq 0.11$ で、約 $11$ %である。

$\blacksquare$

ベイズの定理の分母を求めるときに、月曜日と月曜日以外に分けた。もし、それぞれの曜日で条件付き確率が違う場合は、

$P(B|A_1)$ ：月曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
$P(B|A_2)$ ：火曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
$P(B|A_3)$ ：水曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
$P(B|A_4)$ ：木曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
$P(B|A_5)$ ：金曜日に落としたトーストの具材面が床につく確率
ただし、 $\sum_{i}^{5} P(A_i)=1$