【三角定規】165度をつくり、整数問題として遊ぶ


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 2つの三角定規を組み合わせてでいろいろな角度をつくる。どんな角度が作れて、どんな角度がつくれないかを調べる。具体的にいろいろ作ってみた。そして整数に置き換えて考えてみたり、もっと多くの三角定規でもっと多くの組み合わせを考えてみたい。



1. 2個の定規で遊ぶ

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sankaku2
sankaku3

“+”:角度の和で作った角度
“ー”:角度の差で作った角度

を表す。15度刻みで様々な角度をつくることができた。180度以上の角度は、180度以下の角度で表すことができる。例えば、225度の場合は、(360ー225)度=135度を用いて図のように作られる。

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本当に165度は作れないのだろうか。

否、作れる。

2. 165度を作る

 結論から述べると165度を作るためには、

  • 「外角」を使う
  • 3個の3角定規を使う

必要がある。

2.1 外角を使う

 ここまでは和と差で角度を作ってきた。しかし、「外角」の概念を使えばもっと自由に角度を作ることができる。したがって、165度=(180ー15)度 をつくるためには、15度の外角を利用すればいい。つまり、下図のようにすれば良い。

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外角を使えば、135度や150度も45度や30度で表すことができる。

sankaku6

2.2 3個の定規使う

 この方法では、外角は不要である。3個の定規を使えることで表現の自由度が増えた。165度については下のように作れる。

sankaku7

 以上のように「外角」を使うか、3個の三角定規を使えば、0から15度刻みで360度まで表すことができる

3. 簡単な整数にして遊ぶ

 ここからはお遊びである。上記の三角定規の問題をシンプルな整数問題としてみよう。三角定規の角度は 30度、45度、60度、90度 ですべて15の倍数である。ここでは、三角定規の角度を簡単な整数に置き換える。つまり、
[30, 60, 90] —> [2, 4, 6]
[45, 45, 90] —> [3, 3, 6] 
と簡略化して、整数問題(というほど高級でもない)に帰着する。

2つの三角定規の場合(外角は使わない)
問題は、
[0,2,4,6][0,3,6] ([3,3,6]) から数字を1つずつ選び和か差をとって、1から12までの整数を作り方”
を求めることである。作り方の組み合わせは表のようになる(”0”は三角定規を使わないを意味する。)。

求める整数
1 3 2
1 3 4
2 0 2
2 6 4
3 3 0
363
4 0 4
4 6 2
5 3 2
6 0 6
6 6 0
7 3 4
8 6 2
9 3 6
10 6 4
11    
12 6 6

漏れがあるといけないのでPythonコードを用いて計算してもらった。どう頑張っても外角なしでは鬼門である165度に対応する11はつくれない。11以外の16個について対応する三角形は、この記事の一番初めに示した図に載せている。

3つの三角定規の場合(外角、差は使わない)

使う定規は、上記の2つの定規に[30, 60, 90] の定規か[45, 45, 90]の定規を追加した以下の、
[30, 60, 90] —> [2, 4, 6]
[45, 45, 90] —> [3, 3, 6] 
[30, 60, 90]  or [45, 45, 90] —> [2,3,4,6] 
を考える。差を使うと組み合わせが多くなるため、単に和のみで表現できるものを考える。[2,3,4,6] はUNOでいうワイルドカードである。ドロー4があればとこの問題にゲーム性が出る。

問題は、
[2,4,6] 、[3,6] [2,3,4,6] から数字を1つずつ選び和をとって、1から12までの整数を作り方”
を求めることである。

“0”(定規を使わない)を入れると、2個の定規の表と同じ組み合わせのものができるため、”0”は考えない。3つの和の場合も機械が計算してくれた。できた表は下の通りである。

求める整数
7 3 2 2
8 3 2 3
9 3 2 4
10 3 4 3
10 6 2 2
11 3 4 4
11 3 6 2
12 3 6 3
12 6 2 4

上述したとおり、3つの定規があれば、鬼門であった165度に対応する11についても作ることができる。結局、

    \begin{eqnarray*}165&=&11\times15\\&=&(2+3+6)\times15\\&=&30+45+90\end{eqnarray*}


あるいは

    \begin{eqnarray*}165&=&11\times15\\&=&(3+4+4)\times15\\&=&45+60+60\end{eqnarray*}


で作れる。この2つは先ほど示した以下のパターンである。

sankaku7

3つの定規の場合の表を見れば、150度なども3つの定規を組み合わせて作れることが確認できる。いろいろ試してみてほしい。

4. 4個以上の定規を使っちゃう

 最後に4つ以上の定規を使った場合を計算してみた。結果は以下の通り。

求める整数
9 3 2 2 2
10 3 2 2 3
11 3 2 2 4
11 3 2 3 3
12 3 2 3 4
12 6 2 2 2
11 3 2 2 2 2
12 3 2 2 2 3
12 2 2 2 2 2 3
4つの定規を使った165度の表現(11=3+2+2+4)を下図に示す。
sankaku8

 

5. まとめ

 これ以上定規を増やしても、机が散らかるだけである。180度以上を作ることを考えたらもっと大変になる。
 

お読みいただきありがとうございました。


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