数学の微積分で頻繁に登場する、有名な指数関数の積分(ガウス関数、ガウシアン型)
を計算する。極座標表示を使えば非常に簡単に計算出来るということを学べるだろう。
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{\alpha}z=x](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7154477152cba90c4219c3be66a61b62_l3.png)
となるので、ここでは積分
を計算しよう。
1. Iの2乗の計算
積分は2つあるので、積分変数をそれぞれと
として、
の重積分を計算する。この重積分は極座標形式を用いると容易に計算できる。極座標表示は、
である。ここで、
![Rendered by QuickLaTeX.com dxdy=rdrd\theta](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c411afc4fae9a90efabe265ced991f6d_l3.png)
である。両辺の平方根をとることにより
![Rendered by QuickLaTeX.com I=\sqrt{\pi}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aaf05327d4e3ca7736c834962179d4bc_l3.png)
となる。したがって、
を得る。