【行列式】行列のトレースと固有値の関係式

$n\times n$ の行列 $A$ について、
$A$ の固有値を $\lambda_{\rm i}$ (i=1, 2, …, n)とすると

${\rm tr}A =\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$

が成立することを示す。(tr( $AB$ )=tr( $BA$ )は使わない。)
この式は行列のトレースと固有値を結ぶ関係式となっている。

まず
固有多項式 $\phi_A(\lambda)={\rm det}(\lambda E-A)=\left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right|$

は、 $\phi_A(\lambda)=\lambda^n+\alpha_1 \lambda^{n-1}+\cdots+\alpha_n$ とおける。

実際に係数 $\alpha_1$ を求めてみる。すなわち $\lambda^{(n-1)}$ の係数を求める。
はじめに、行列式の第1列に対する余因子展開を考える。

$\left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right| \\= (\lambda-a_{11})\cdot \left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{22}&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ -a_{32}&\lambda-a_{33}&\cdots&-a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n2}&-a_{n3}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right| \\　+ (-1)\cdot(-a_{21}) \cdot \left| \begin{array}{c c c c} -a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{32}&\lambda -a_{33} &\cdots&-a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n2}&-a_{n3}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right|\\ +　\cdots　+ (-1)^n \cdot(-a_{n1}) \cdot \left| \begin{array}{c c c c} -a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ \lambda-a_{22}&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{(n-1)2}&-a_{(n-1)3}&\cdots&-a_{(n-1)n} \end{array}\right|$

余因子展開により $n\times n$ 行列の行列式が、
$(n-1)\times (n-1)$ 行列の行列式の和で表された。

第２項以下について行列式の $\lambda$ は次数は高々(n-2)次である。
つまり、第１項からのみ $\lambda^{(n-1)}$ が現れる。
具体的には、 $(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn})$ からのみ現れ、

(1) $\alpha_1=-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})=-{\rm tr}A$

と表される。
一方で、固有多項式 $\phi_A(\lambda)$ は、

$\begin{eqnarray*}\phi_A(\lambda)&=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\\ &=\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2 \cdots \lambda_n) \lambda^{(n-1)} \cdots\end{eqnarray*}$

なので、

(2) $\alpha_1=-(\lambda_1+\lambda_2 \cdots \lambda_n)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$

となる。

(1)(2)より　 ${\rm tr}A =\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$ 　が証明された。

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