連続X線の発生原理・短波長端の計算

X線は、ドイツ人物理学者、ヴィルヘルム・レントゲンによって発見され、レントゲンはその功績で1901年の第1回ノーベル物理学賞を受賞している。余談ではあるが、1903年には新しい放射線として「N線」なるものが報告されたが、後に誤りであったとされている。

　X線の利用として、材料におけるX線回折が挙げられる。 X線の波長は 0.1〜100 Å であり、材料の格子定数や結晶中の原子間隔は数Åの世界と非常に近い。したがって、我々はX線回折により材料の結晶構造や格子定数を特定することができる。レントゲンの功績は、このように材料の世界へも大きな影響を与えている。

1. 連続X線の発生原理

　X線には2種類ある。

連続X線：連続的な波長（エネルギー）を持つ
特性X線：特定の波長（エネルギー）を持つ

　ここでは、「連続X線」の発生原理を説明しよう。

　連続的な波長を持っているため、白色X線ともいう。「白色」は、白色光がさまざまな色（波長）を持っていることに由来している。発生原理は、

電圧 $V$ で電子を加速する
ターゲットに電子を衝突させる
衝突時の電子の運動エネルギーの損失に対応したX線が発生する

である。1で、電圧 $V$ で加速された電子のエネルギー $E_{\rm e}$ [J] は、

$\begin{eqnarray*} E_{\rm e} = e V \end{eqnarray*}$

　である。衝突後の電子の運動エネルギーは、

$\begin{eqnarray*}E_{\rm K} = \frac{1}{2}m_{\rm e} v^2\end{eqnarray*}$

である。 $m_{\rm e}$ は電子の質量、 $v$ は終状態の電子の速度を表す。したがって、発生するX線のエネルギー $E_{\rm X}$ はエネルギー保存則より、

$\begin{eqnarray*}E_{\rm X} &=& E_{\rm e} - E_{\rm K} \\&=& eV - \frac{1}{2} m_{\rm e} v^2 \quad \cdots (1)\end{eqnarray*}$

　となる。X線の波長を $\lambda$ とすれば、ド・ブロイの式より、

$\begin{eqnarray*}E_{\rm X} = \frac{hc}{\lambda} \quad \cdots(2)\end{eqnarray*}$

式(2)を式(1)へ代入して整理すると、

$\begin{eqnarray*}\lambda&=&\frac{hc}{eV-\frac{1}{2}m_{\rm e} v^2} \\&\geq& \frac{hc}{eV} \end{eqnarray*}$

となる。不等号は、衝突後の電子の速度 $v$ がゼロ以上であることから成り立ち、等号成立は $v=0$ のときである。この下限の波長を $\lambda_0$ として短波長端という。具体的に、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}$ [J $\cdot$ s]、光速 $c=2.998\times 10^9$ [m/s]、電気素量 $e=1.602\times10^{-19}$ [C] を代入して計算すると（単位に注意する）、