ラゲール多項式の導入②：陪多項式／ラゲール関数Rnl(x)

ラゲール(Laguerre)陪多項式 $L_n^m(x)$ について、いくつかの性質を証明付きでまとめた。ラゲール多項式 $L_n(x)$ との関係は

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)=\frac{d^m}{dx^m}L_n(x)\quad\cdots\quad(*) \end{eqnarray*}$

である。

ラゲール陪多項式の諸性質
ラゲール関数 Rnl(x)
- 定義
- 内積とよく使う式

ラゲール陪多項式の諸性質

おもに、ラゲール陪多項式 $L_n^m(x)$ について学ぶ。 $L_n$ の肩に $m$ があるものが陪多項式で、 $m=0$ のものをラゲール多項式 $L_n(x)$ という。 $m$ の有無は、微分方程式の中に $m$ が入っているかどうかでわかる。

以下では、微分方程式とラゲール陪多項式について簡単にまとめた。

ラゲールの微分方程式

ラゲール陪多項式 $L_n^m(x)$ は次の微分方程式を満たす解の１つである。

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2 y}{dx^2}+(m+1-x)\frac{dy}{dx}+(n-m)y=0 \end{eqnarray*}$

ここで、 $n,m$ は整数である。微分方程式に $n,m$ が含まれるため、陪多項式は $n,m$ の添え字をもつ。この式はラゲール多項式 $L_n(x)$ が満たす微分方程式

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2L_n(x)}{dx^2}+(1-x)\frac{dL_n(x)}{dx}+n L_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$

の両辺を $x$ で $m$ 回微分して、

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^{m+2}L_n(x)}{dx^{m+2}}+(m+1-x)\frac{d^{m+1}L_n(x)}{dx}+(n-m)n \frac{d^m L_n(x)}{dx^m} = 0 \end{eqnarray*}$

を作り、

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)=\frac{d^m}{dx^m}L_n(x) \end{eqnarray*}$

とすることで得られる。式変形の途中、 $m$ 回微分を実行するときにライプニッツの定理（「二項定理の微分版」のようなもの）

$\begin{eqnarray*} \frac{d^m}{dx^m}(f(x)g(x))=\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k \frac{d^kf(x)}{dx^k}\,\frac{d^{m-k}g(x)}{dx^{m-k}} \end{eqnarray*}$

を用いた。

ラゲール陪多項式

ラゲール陪多項式 $L_n^m(x)$ はラゲールの微分方程式を満たすである。

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2y}{dx^2}+(m+1-x)\frac{dy}{dx}+(n-m) y = 0 \quad\cdots\quad({\rm d1}) \end{eqnarray*}$

多項式の次数

ラゲール多項式 $L_n(x)$ は

$\begin{eqnarray*} L_n(x)=e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})\quad\cdots\quad(2) \end{eqnarray*}$

の関係があり、最高次の項は $(-1)^n x^n$ で $L_n(x)$ は $n$ 次の多項式である。陪多項式 $L_n^m(x)$ は $L_n(x)$ の $m$ 階微分であるので $(n-m)$ 次の多項式である( $m\leq n$ )。また、 $n < m$ の場合は $L_n^m(x)=0$ となることがわかる。

$x^k$ で展開した多項式の形は

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)=\sum_{k=0}^{\textcolor{red}{n-m}}(-1)^{n+m}\frac{(n!)^2}{k!(m+k)!(n-m-k)!}x^k \end{eqnarray*}$

であり、 $(n-m)$ 次の多項式であることが確認できる。

ラゲール多項式の母関数の利用

$L_n(x)$ の母関数を利用すると、

$\begin{eqnarray*} (-1)^m t^m \exp\left(-\frac{xt}{1-t} \right)=(1-t)^{m+1}\sum_{n=0}^\infty \frac{L_n^m(x)}{n!}t^n \end{eqnarray*}$

の関係を導くことができる。

証明

ラゲール多項式の母関数

$\begin{eqnarray*} \exp\left(-\frac{xt}{1-t} \right)=(1-t)\sum_{n=0}^\infty \frac{L_n(x)}{n!}t^n\quad\cdots\quad(*) \end{eqnarray*}$

を $x$ で $m$ 回微分して

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{t}{1-t}\right)^m \exp\left(-\frac{xt}{1-t}\right)&=&(1-t)\sum_{n=0}^\infty \textcolor{red}{\frac{d^m}{dx^m}}\frac{L_n(x)}{n!}t^n\\ (-1)^m t^m \exp\left(-\frac{xt}{1-t} \right)&=&(1-t)^{m+1}\sum_{n=0}^\infty \frac{\textcolor{red}{L_n^m(x)}}{n!}t^n \end{eqnarray*}$

を得る。

内積の定義

$L_n^m(x)$ が満たす微分方程式

$\begin{eqnarray*} x\frac{d^2 y}{dx^2}+(m+1-x)\frac{dy}{dx}+(n-m)y=0 \end{eqnarray*}$

はステュルム-リウヴィル型微分方程式に分類される。その定義から内積と直交関係は

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x}x^m L_n^m(x) L_{n'}^m(x)\,dx=\frac{(n!)^3}{(n-m)!}\delta_{nn'} \end{eqnarray*}$

で表される（計量ベクトル空間）。 $L_n^m(x)$ 、 $L_{n'}^m(x)$ は高々 $(m-n)$ 次と $(m-n')$ 次の多項式であり、上の被積分関数にある $e^{-x}$ により被積分関数は $+\infty$ でも収束する。

ラーゲル多項式との関係といくつかの便利な式

具体的な項については

ポイント

$\begin{eqnarray*} L_n^m(x)=\frac{d^m}{dx^m}\left(e^x \frac{d^n}{dx^n}\left(x^n e^{-x}\right)\right)\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}$

を用いると良い。この表式は

$\begin{eqnarray*} L_n(x)&=&e^x\frac{d^n}{dx^n}\left(x^ne^{-x}\right)\\ L_n^m(x)&=&\frac{d^m}{dx^m}L_n(x) \end{eqnarray*}$

より得られる。また、式(*)の両辺を $x$ で微分して

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}L_n^m(x)&=&\frac{d}{dx}\left(\frac{d^m}{dx^m}\left(e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})\right)\right)\\ &=&\frac{d^m}{dx^m}\left(e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})\right)\\ \therefore\quad \frac{d}{dx}L_n^m(x)&=&L_n^{\textcolor{red}{m+1}}(x)\quad\cdots \quad(2) \end{eqnarray*}$

の関係がある。１回微分することで $m\to m+1$ の陪多項式を作ることができる( $m+1 \leq n$ )。

n=6までの具体的な項

以下では具体的な形を得るために式(2)を用いる。すなわち、 $L_n^1(x)$ を計算したのち $m$ 回微分して $L_n^m(x)$ を計算している。

$\begin{eqnarray*} L_1^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^x \frac{d}{dx}(xe^{-x})\right)\\ &=&\frac{d}{dx}\left(e^x(e^{-x}-xe^{-x})\right)\\ &=&-1\\ L_2^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^x\frac{d^2}{dx^2}(x^2e^{-x})\right)\\ &=&\frac{d}{dx}\left(e^x(2e^{-x}-4xe^{-x}+x^2e^{-x})\right)\\ L_2^2(x)&=&\frac{d}{dx}L_2^1(x)=2\\ L_3^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^{x}\frac{d^3}{dx^3}(x^3e^{-x})\right)\\ &=&\frac{d}{dx}\left(e^x\left( 6e^{-x} - 18xe^{-x} + 9x^2e^{-x} -x^3 e^{-x} \right)\right)\\ &=&-18 + 18 x -3 x^2\\ L_3^2(x)&=&\frac{d}{dx}L_3^1(x)=18 -6x\\ L_3^3(x)&=&\frac{d}{dx}L_3^2(x)=-6\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}L_4^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^x\frac{d^4}{dx^4}(x^4 e^{-x})\right)\\ &=&\frac{d}{dx}\left(e^x(24e^{-x} - 96xe^{-x}+72 x^2 e^{-x}-16 x^3 e^{-x}+x^4 e^{-x})\right)\\ &=&-96 + 144x -48 x^2+4x^3\\ L_4^2(x)&=&\frac{d} L_4^1(x)=144-96x+12x^2\\ L_4^3(x)&=&\frac{d}{dx}L_4^2(x)=-96+24 x\\ L_4^4(x)&=&\frac{d}{dx}L_4^3(x)=24\\ L_5^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^x\frac{d^5}{dx^5}(x^5e^{-x})\right)\\ &=&\frac{d}{dx}\bigl(e^x(120e^{-x}-600xe^{-x}+600x^2 e^{-x}\\&&\quad-200x^3e^{-x}+25x^4e^{-x}-x^5 e^{-x})\bigr)\\ &=&-600+1200x - 600x^2 + 100x^3 -5x^4\\ L_5^2(x)&=&\frac{d}{dx}L_5^1(x)=1200-1200x + 300x -20 x^3\\ L_5^3(x)&=&\frac{d}{dx}L_5^2(x)=-1200+300x -60x^2\\ L_5^4(x)&=&\frac{d}{dx}L_5^3(x)=300-120x\\ L_5^5(x)&=&\frac{d}{dx}L_5^5(x)=-120\\ L_6^1(x)&=&\frac{d}{dx}\left(e^x\frac{d^6}{dx^6}(x^6e^{-x})\right)\\ &=&-4320+10800x-7200x^2+1800x^3-180x^4 + 6x^5\\ L_6^2(x)&=&10800-14400x+5400x^2-720x^3+30x^4\\ L_6^3(x)&=&-14400+10800x-2160x^2+120x^3\\ L_6^4(x)&=&10800-4320x+360x^2\\ L_6^5(x)&=&-4320+720x\\ L_6^6(x)&=&720\end{eqnarray*}$

$n=6$ を求めるときに使った式だけ下に載せておく。

ラゲール関数 Rnl(x)

定義

ラゲール関数 $R_{nl}(x)$ を以下のように定義する。

$\begin{eqnarray*} R_{nl}(x)=e^{-\frac{1}{2}}x^lL_{n+l}^{2l+1}(x) \end{eqnarray*}$

$R_{nl}(x)$ は以下の微分方程式の解のひとつである。

$\begin{eqnarray*} \frac{dR(x)}{dx}+\frac{2}{x}\frac{dR(x)}{dx}-\left\{ \frac{1}{4}-\frac{n}{x}+\frac{l(l+1)}{x^2} \right\}R(x)=0 \end{eqnarray*}$

内積とよく使う式

量子力学でよく使う式は下の通りである。

ポイント

$\begin{eqnarray*} I_{nl}\equiv \int_0^\infty x^2 \bigl\{R_{nl}(x)\bigr\}^2 \,dx=\frac{2n\left\{(n+l)!\right\}^3}{(n-l-1)!} \end{eqnarray*}$

母関数で表した式を利用して証明を進めていけばよい。

証明

上で見たラゲール陪多項式を母関数で表した式

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{L_n^m(x)}{n!}t^n=\frac{(-t)^m}{(1-t)^{m+1}}\exp\left(-\frac{xt}{1-t}\right) \end{eqnarray*}$

を使い、 $t\to p,q$ として

$\begin{eqnarray*} \sum_{n'=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{L_n'^m(x)L_n^m(x)}{n'!n!}p^nq^{n'} =\frac{(-p)^m(-q)^m\exp\left(-\frac{xp}{1-p}\right)\exp\left(-\frac{xq}{1-q}\right)}{(1-p)^{m+1}(1-q)^{m+1}} \end{eqnarray*}$

$n\to n+l,\,n'\to n'+l,\, m\to 2l+1$ として

$\begin{eqnarray*} \sum_{n'+l=0}^\infty\sum_{n+l=0}^\infty\frac{L_{n'+l}^{2l+1}(x)L_{n+l}^{2l+1}(x)}{(n'+l)!(n+l)!}p^{n+l}q^{n'+l} =\frac{(-p)^{2l+1}(-q)^{2l+1}\exp\left(-\frac{xp}{1-p}\right)\exp\left(-\frac{xq}{1-q}\right)}{(1-p)^{2l+2}(1-q)^{2l+2}} \end{eqnarray*}$

を得る。両辺に $e^{-x}x^{2l+2}$ をかけて、 $[0,\infty]$ で積分する。このとき左辺(LHS)は

$\begin{eqnarray*} {\rm (LHS)}=\sum_{n'+l=0}^\infty\sum_{n+l=0}^\infty\frac{ p^{n+l}q^{n'+l} }{(n'+l)!(n+l)!} \int_0^\infty e^{-x}x^{2l+2}L_{n'+l}^{2l+1}(x)L_{n+l}^{2l+1}(x)\,dx \end{eqnarray*}$

である。右辺(RHS)は

$\begin{eqnarray*} {\rm (RHS)} =\frac{(-p)^{2l+1}(-q)^{2l+1}}{(1-p)^{2l+2}(1-q)^{2l+2}} \int_0^\infty x^{2l+2} \exp\left(-x-\frac{xp}{1-p}-\frac{xq}{1-q}\right)\,dx \end{eqnarray*}$

被積分関数の指数部分について

$\begin{eqnarray*} \alpha&\equiv &1+\frac{p}{1-p}+\frac{q}{1-q}\\ &=&\frac{(1-p)(1-q)+p(1-q)+q(1-p)}{(1-p)(1-q)}\\ &=&\frac{1-pq}{(1-p)(1-q)} \end{eqnarray*}$

とおくと

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty x^{2l+2}\exp(-\alpha x)\,dx &=& \int_0^\infty \left(\frac{t}{\alpha}\right)^{2l+2}\exp(-t)\,\frac{dt}{\alpha}\\ &&\quad\left(\alpha x = t,\, dx=\frac{dt}{\alpha}\right)\\ &=&\frac{1}{\alpha^{2l+3}}\int_0^\infty t^{2l+2}\exp(-t)\,dt\\ &=&\frac{\Gamma(2l+3)}{\alpha^{2l+3}}\\ &=&\frac{(2l+2)!}{\alpha^{2l+3}} \end{eqnarray*}$

ここでガンマ関数 $\Gamma(n)$ の性質 $\Gamma(n)=(n-1)!$ を用いた。よって、右辺(RHS)は

$\begin{eqnarray*} {\rm (RHS)}&=&\frac{p^{2l+1}q^{2l+1}}{(1-p)^{2l+2}(1-q)^{2l+2}}\cdot \frac{(2l+2)!}{\textcolor{red}{\alpha^{2l+3}}}\\ &=& \frac{p^{2l+1}q^{2l+1}}{(1-p)^{2l+2}(1-q)^{2l+2}}\cdot \frac{(2l+2)!}{\textcolor{red}{\left(\frac{1-pq}{(1-p)(1-q)}\right)^{2l+3}}}\\ &=& \frac{(2l+2)!(pq)^{2l+1}(1-p)(1-q)}{(1-pq)^{2l+3}} \end{eqnarray*}$

ここで、 $(1-pq)^{-2l-3}$ を展開するため二項定理

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdot+\frac{n(n-1)+\cdot\cdots\cdot (n-r+1)}{r!}x^r+\cdots \end{eqnarray*}$

を用いて( $x\to -pq, n\to -2l-3$ )

$\begin{eqnarray*} (1-pq)^{-2l-3}&=&\sum_{r=0}^\infty\frac{(-2l-3)(-2l-4)\cdot \cdots \cdot (-2l-3-r+1)}{r!}(\textcolor{red}{-pq})^r\\ &=&\sum_{r=0}^\infty\frac{(2l+3)(2l+4)\cdot \cdots \cdot (2l+r+2)}{r!}(\textcolor{red}{pq})^r\\ \end{eqnarray*}$

と展開できる。よって、

$\begin{eqnarray*} {\rm (RHS)}&=&\textcolor{blue}{(1-p)(1-q)}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{(2l+3)(2l+4)\cdot \cdots \cdot (2l+r+2)\cdot \textcolor{blue}{(2l+2)!}}{r!}(pq)^{\textcolor{blue}{2l}+r+\textcolor{blue}{1}}\\ &=&(1-p-q+pq)\sum_{r=0}^\infty\frac{(2l+r+2)!}{r!}(pq)^{2l+r+1}\\ &=&\sum_{r=0}\frac{(2l+r+2)!}{r!}\cdot \textcolor{red}{1}\cdot pq^{2l+r+1} -\sum_{r=0}\frac{(2l+r+2)!}{r!}\cdot \textcolor{red}{p}\cdot pq^{2l+r+1}\\ &-&\sum_{r=0}\frac{(2l+r+2)!}{r!}\cdot \textcolor{red}{q}\cdot pq^{2l+r+1} +\sum_{r=0}\frac{(2l+r+2)!}{r!}\cdot \textcolor{red}{pq}\cdot pq^{2l+r+1} \end{eqnarray*}$

$n=n'$ のとき、(LHS)と(RHS)それぞれの $(pq)^{n+l}$ の係数を比べる。(RHS)については上の式の４つの項のうち、第１項と第４項のみが $p,q$ が同じ次数となる。 $(pq)^{n+l}$ となるのは、第１項、第４項においてそれぞれ $r=n-l-1,n-l-2$ のときである。したがって、係数は

$\begin{eqnarray*} && \frac{(2l+\textcolor{red}{(n-l-1)}+2)!}{\textcolor{red}{(n-l-1)!}} +\frac{(2l+\textcolor{red}{(n-l-2)}+2)!}{\textcolor{red}{(n-l-2)!}}\\ &&\quad=\frac{(n+l+1)!}{(n-l-1)!}+\frac{(n+l)!}{(n-l-2)!}\\ &&\quad=\frac{2n(n+l)!}{(n-l-1)!} \end{eqnarray*}$

一方、(LHS)の $(pq)^{n+l}$ の係数は

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{\left\{(n+l)!\right\}^2}\int_0^\infty e^{-x}x^{2l+2}\left(L_{n+l}^{2l+1}\right)^2 \,dx\\ &&\quad =\frac{1}{\left\{(n+l)!\right\}^2}\int_0^\infty x^2 \left\{ R_{nl}(x) \right\}^2 \, dx \end{eqnarray*}$

である。これより、

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty x^2 \left\{ R_{nl}(x) \right\}^2 \, dx =\frac{2n\left\{(n+l)!\right\}^3}{(n-l-1)!} \end{eqnarray*}$

を得る。 $\blacksquare$