波の式 Asin2π(x/λ-t/T)=Asin(kx-ωt) の導出

　時間 $t$ と位置 $x$ に依存する波の式 $\psi(x,t)$ は波の特徴である波長 $\lambda$ と周期 $T$ によって

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin 2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{-}\frac{t}{T}\right) \end{eqnarray*}$

のように表すことができる。 $A$ は波の振幅である。この式は波数 $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ と周波数(角振動数) $\omega=\frac{2\pi}{T}$ により

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin \left(kx\textcolor{red}{-}\omega t\right) \end{eqnarray*}$

とも書ける。ここでは、この波の式を導出していく。 $t$ の係数が負になることに注意し、その理由も書いておく。

式の導出
まとめ

式の導出

波を

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin \left(ax+bt\right) \end{eqnarray*}$

の形であるとして $a,b$ を求める。

波を図示する

波 $\psi(x,t)$ は $x$ と $t$ の関数になっているため

縦軸 $\psi(x,t)$ 、横軸 $x$
縦軸 $\psi(x,t)$ 、横軸 $t$

の２通りの描き方がある。要するにある時刻での空間変化について描くか、ある位置での時間変化について描くかの２通りである。

　空間変化はイメージしやすく、海の細波を撮った写真を思い浮かべればよい。横軸が変位 $x$ で表すことができるためわかりやすい。山と山の空間的な間隔を波長 $\lambda$ と呼ぶ。

　一方で、現実に横軸に時間をとって「見る」こと、つまり時間変化を「見る」のは難しい。時間変化を見るためには、波のある位置 $x_0$ の高さがどのように変化していくかを記録していくしかない。もっと簡単に時間変化を見るための装置がオシロスコープである。山と山の時間的な間隔を周期 $T$ と呼ぶ。

aを求める：時間tを固定する

　 $t=t_0$ で固定して考える。

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t_0)&=&A\sin \left(ax+bt_0\right) \end{eqnarray*}$

について $x\to x+\lambda$ とすれば、

$\begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&\psi(x,t_0)\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}$

が成立する。

　左辺を加法定理で展開していく。

$\begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&A\sin \left(a(x+\textcolor{red}{\lambda})+bt_0\right)\\ &=&A\sin \left(ax+bt_0+\textcolor{red}{a\lambda}\right)\\ &=&A\sin \left(ax+bt_0\right)\cos\left(\textcolor{red}{a\lambda}\right) +A\cos\left( ax+bt_0 \right)\sin (\textcolor{red}{a\lambda}) \end{eqnarray*}$

　式(1)より

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \cos a\lambda = 1\\ \sin a\lambda = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

が成立する。したがって、

$\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{2\pi}{a}n\quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{2\pi}{\lambda}n \end{eqnarray*}$

となる。 $n$ は整数であるが、 $n=1$ が目的の波の式である。たとえば、 $n=2$ などは図のような波を表している。

$\begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&\psi(x,t_0)\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}$

の条件だけでは、波の形は $n$ の値によって変化してしまう。 $\lambda$ の間に、いくらでも山の数を詰め込むことができるのである。

$n=1$ のときを考えて、

$\begin{eqnarray*} a=\frac{2\pi}{\lambda}=k \end{eqnarray*}$

を得る。この $k$ は波数と呼ばれる。

*【指数関数で見る】

指数関数を用いて波を表すと、三角関数の加法定理の代わりに、指数関数の指数法則を用いるだけで済む。つまり、計算が簡単になる利点がある。

波を指数関数で表すと、

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\exp\left( i(ax+bt) \right) \end{eqnarray*}$

になる。

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t_0)=A\exp\left( i(ax+bt_0) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&A\exp\left( i(a(x+\lambda)+bt_0) \right)\\ &=&A\,\textcolor{red}{\exp\left(ia\lambda\right)}\exp\left( i(ax+bt_0) \right) \end{eqnarray*}$

となる。したがって、

$\begin{eqnarray*} \exp\left(ia\lambda\right)&=&1\\ a\lambda &=& 2\pi n\\ a&=&\frac{2\pi}{\lambda}n \end{eqnarray*}$

bを求める：位置xを固定する

　時間を固定した場合と同様の計算をおこなうと、

$\begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{b}n\quad \Leftrightarrow \quad b=\frac{2\pi}{T}m \end{eqnarray*}$

を得る。ここで $m$ は整数である。 $a$ を決めたときと同様に $m=1$ であるように思える。

　しかし、波の進行方向を $x$ が正の方向である図のような場合を考えると $m=-1$ となる。

この図において、ある波の位置 $x=x_0$ について時間変化を追っていくことを考える。ある時刻の状態から、時間 $t>0$ だけ経過したときに $x_0$ での波の位相( $\sin$ の中身)は、 $t$ に対して負の方向に変化する。

　これでは少々粗いので、具体的に時刻が $0\to t$ （ $t>0$ は微小）に変化した場合の式を見ていく。このとき、初期状態と $t$ のときの波の式はそれぞれ、

$\begin{eqnarray*} \psi(x,0)&=&A\sin \left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\\ \psi(x,t)&=&A\sin \left(\frac{2\pi}{\lambda}x + bt\right) \end{eqnarray*}$

となる。

$x=0$ での波の高さを見ていくと、

$\begin{eqnarray*} \psi(0,0)&=&0\\ \psi(0,t)&=&A\sin \left(bt\right) \end{eqnarray*}$

となるだろう。いま、 $x$ 軸の正の方向へ進行する波（図の赤い線）の場合は $\psi(x=0,t) < 0$ であるため、 $\sin$ の中身は負になるはずである。 $t>0$ であるため、 $b < 0$ にならざるを得ない。

　これにより $m=-1$ であり、

$\begin{eqnarray*} b=-\frac{2\pi}{T}=-\omega \end{eqnarray*}$

となる。 $\omega$ を角振動数と呼ぶ。

負の方向へ進む波

また、図のように $b=1$ は $x$ 軸の負の方向へ後退する波を表す。

まとめ

以上まとめて

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin \left(ax+bt\right) \end{eqnarray*}$

に対して、 $x$ 軸の正の向きへ進行する波の式は、

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)&=&A\sin 2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{-}\frac{t}{T}\right)\\ &=&A\sin \left(kx\textcolor{red}{-}\omega t\right) \end{eqnarray*}$

となる。 $t$ の係数は負になることに注意する。

　 $x$ 軸の負の向きへ後退する波の式は、

$\begin{eqnarray*} \psi(x,t)&=&A\sin 2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{+}\frac{t}{T}\right)\\ &=&A\sin \left(kx\textcolor{red}{+}\omega t\right) \end{eqnarray*}$

となる。 $t$ の係数は正になることに注意する。

式の導出

波を図示する

aを求める：時間tを固定する

bを求める：位置xを固定する

負の方向へ進む波

まとめ

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