【ベクトル解析】勾配 ∇f(x,y) の意味（gradient）をわかりやすい平面で学ぶ

　ベクトル解析における「勾配(gradient)」は回転(rot)や発散(div)に比べてわかりやすいと思う。そのことを平面と身近な例から種明かししていこう。読み終わる頃には、なぜベクトルか、なぜ勾配と呼ばれるかがスッと理解できるはずである。

ポイント

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{eqnarray*}$

* 3変数だったら $\frac{\partial f}{\partial z}$ の成分を追加する。4変数以上の場合も同様である。

1. 数学をする前に：坂道と勾配のイメージ
- なぜベクトルになるか
2. １変数と２変数（直線と平面）
3. 平面の変化率からみる勾配
- 平面の変化率と勾配の大きさ
- 平面の最も急な向き
3. １変数と２変数（放物線）
5. まとめ

1. 数学をする前に：坂道と勾配のイメージ

　微分やら何やらを扱う前に、まず身近な例として坂道を考え、勾配のイメージを身につける。

なぜベクトルになるか

　坂道の前にいる人にとって、その坂道の勾配はもっとも急な方向を意味するはずだ。

　今、絵では $x,y$ 軸方向を任意にとった。この絵でいう坂道の勾配は、青色の $x$ 方向や $y$ 方向に沿って考えないことは簡単にわかるだろう。つまり、最も急な傾き（勾配の方向）は $x$ 軸や $y$ 軸方向にあるとは限らない。

というわけで、勾配は $x,y$ 平面内のある方向を向いており、「 $x$ 方向にどれだけ傾いているか」と「 $y$ 方向にどれだけ傾いているか」によって決定される。したがって、勾配はその方向を示すためにベクトル量となる。

　まとめると、勾配とは「どの方向にどれだけの大きさ傾いているか」を表すベクトルである。

2. １変数と２変数（直線と平面）

　次に数学的な話をしよう。平面に入る前にもっと簡単な直線から微分の意味を考えていこう。

直線の傾きと微分

　まず直線の傾きを考えよう。例えば

$\begin{eqnarray*} y=f(x)=3x+4 \end{eqnarray*}$

の傾きは 3 である。これは、

$\begin{eqnarray*} y'=f'(x)=\frac{d f(x)}{dx}=\textcolor{red}{3} \end{eqnarray*}$

となり、 $f'(x)$ は $f(x)$ の $x$ における接線の傾きに対応するためである。直線なので $x$ の値にかかわらず接線の傾きは 3 である。

　このことを基本にして、平面の傾きである「勾配」を求めていく。

ある方向の平面の傾きと偏微分

　例として説明するため、平面の式を与えておく。

$\begin{eqnarray*} z=f(x,y)=2x+3y \end{eqnarray*}$

　これは $(x,y)=(0,0)$ で $z=0$ なので原点を通る平面の式になる。

　この平面をある面で縦にスパッと切れば直線になる。ここでは、 $y=1$ など $y$ を固定して、 $xz$ 平面に平行に切ろう。

　すると図の右のように直線になる。直線なので傾きは容易に求めることができる。つまりは、 $z=f(x,y)$ を $x$ で偏微分すれば良い。ここでいう「偏微分」とは $y$ を固定して $x$ だけで関数を微分するという意味である。 $y$ は定数であるとして普通に微分すれば良い。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\textcolor{blue}{2} \end{eqnarray*}$

次に、 $x=1$ など $x$ を固定して、 $yz$ 平面に平行に切ろう。

同じようにして、直線の傾きは $z=f(x,y)$ を $y$ で偏微分したものとなる。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\textcolor{red}{3} \end{eqnarray*}$

　それぞれの偏微分は、坂道の勾配の大きさを表すものではない。それぞれの偏微分は、それぞれの方向に向かって進んだ時の傾きを表す。つまり、

坂道を $x$ 方向に $1$ 進めば $\textcolor{blue}{2}$ だけ登る
坂道を $y$ 方向に $1$ 進めば $\textcolor{red}{3}$ だけ登る

ということである。また、この結果は $x$ 方向より $y$ 方向に登ったほうが急であることを表す。

勾配の表し方

　先に答えを書くと、この例の平面の勾配は

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c} 3\\2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

となる。偏微分したものを並べてベクトルを作れば良い。

一般には

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\\\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

である。

平面の勾配の大きさは上のベクトルの大きさに等しく、

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13} \end{eqnarray*}$

となる。これは

坂道を最も急な方向に $1$ だけ進めば $\sqrt{13}$ だけ登る

ということを意味する。

3. 平面の変化率からみる勾配

　上の式でなぜ偏微分が現れたのかを説明していこう。直線の場合は、傾きは

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{df(x)}{dx}\simeq \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

であった。 $\Delta\to 0$ で接線の傾きになる。平面の場合も同様に表すことができるということを示す。

以下では、ベクトル量である関数 $f$ の勾配(gradient)の

ベクトルの大きさ
ベクトルの方向

について考えていく。ここからは数式が多くなる。

平面の変化率と勾配の大きさ

　２変数の場合：

まず $y$ を固定して $x$ だけでテイラー展開する。 $\Delta x^2$ の項は無視する。

$\begin{eqnarray*} \Delta f\equiv f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) &\simeq& \frac{\partial f(x,y+\Delta y)}{\partial x}\,\Delta x+f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \end{eqnarray*}$

次に $y$ についてテイラー展開する。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y+\Delta y)}{\partial x}\,\Delta x+f(x,y+\Delta y)-f(x,y) &\simeq& \left[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}\, \Delta y + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right]\Delta x\\ &&\quad +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,\Delta y +\cancel{f(x,y)}-\cancel{f(x,y)}\\\\ &\simeq& \cancel{\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}\,\Delta x\Delta y} +\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,\Delta x +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,\Delta y \end{eqnarray*}$

　最後の行で、２次以上の微小項は無視した。また最後の行を２つのベクトルの内積の形に表すと

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,\Delta x +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,\Delta y &=&\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} \Delta x\\\\\Delta y \end{array}\right)\\\\ &=& \nabla f(x,y)\cdot\left(\begin{array}{c} \Delta x\\\\\Delta y \end{array}\right)\\\\ &=& \nabla f(x,y)\cdot \Delta{\bf r} \end{eqnarray*}$

結局、

$\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \Delta{\bf r} \end{eqnarray*}$

であり、 $\Delta r \to 0$ の極限で

$\begin{eqnarray*} df(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot d{\bf r} \end{eqnarray*}$

となる。

この式は、平面で $d{\bf r}$ だけ変化したときに、 $f({\bf r})=f(x,y)$ が $\nabla f(x,y)$ だけ変化するということを表す。すなわち、勾配である。このことは、直線に関して $dx$ だけ変化した時に $y=f(x)$ が、傾きに対応する $f'(x)$ だけ変化することと同じように理解できる。

平面の最も急な向き

　最後に、平面の最も急な向きがどのように決まるか説明する。上のベクトルの内積を定義を用いて別の形で表す。そのため、２ベクトル $\nabla f$ と $\Delta{\bf r}=(\Delta x,\Delta y)$ のなす角を $\theta$ として

$\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y)&=&|\nabla f|\,|\Delta{\bf r}| \,\cos \theta\\\\ \frac{\Delta f(x,y)}{|\Delta {\bf f}|}&=&|\nabla f|\cos \theta \end{eqnarray*}$

どの方向に動くかは、 $\Delta {\bf r}$ によって指定される。また左辺の $|\nabla f|$ は平面で決まる正の定数である。したがって、左辺は考えている方向に $|\Delta{\bf r}|$ だけ動く時の傾きを表す。この値を最大にするためには $\cos$ を最大にする、つまり、 $\Delta{\bf r}$ を $\nabla f$ の方向にとれば傾きは最大になる。

　この $\Delta {\bf r}$ が勾配ベクトルの方向である。そして、勾配ベクトルの大きさは $|\nabla f|$ である。

3. １変数と２変数（放物線）

　直線と平面では微分した値は定数となった。これは傾きや勾配が、至る所で一定であるという意味だ。

　より一般的な場合を考えるために、放物線を例にとろう。１変数関数 $f(x)$ のある点 $x$ での微分は、図のように接線の傾きに対応する。

２変数関数の場合は、接平面になり、 $|\nabla f|$ が接平面の傾き（勾配の大きさ）に対応する。

　前の項で説明したように、接平面の勾配の方向は $\nabla$ ベクトルの方向にある。この話は放物線でなくても成り立つ。与えられた曲面 $z=f(x,y)$ に対して、接平面を考えていけばよい。

5. まとめ

勾配は、

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\\\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

で表される。勾配がベクトルであるのは、坂道を登る方向が必要だからである。

　ここでは数学的な記述を用いて勾配の意味を説明した。そういう意味で、「勾配が何に使えるか」には触れていない。つぎは、勾配のイメージがわかるような内容に触れていく。

【ベクトル解析】わかりやすい平面から学ぶ勾配 ∇f(x,y) の意味（gradient）