【電磁気学】ポアソン方程式からスカラーポンテシャル／Green関数

　電磁気学でよく目にする以下のポアソン方程式を解いていこう。この式は偏微分方程式であり、「グリーン関数」なるもので解くことができる。

ポイント

$\begin{eqnarray*} &&\nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\\\\ &&\Rightarrow \quad \phi({\bfr})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d{\bfr}' \end{eqnarray*}$

1. Green関数を使った解法の概要
2. ポアソン方程式を解く
3. よく見る具体的な形
4. まとめ

1. Green関数を使った解法の概要

　微分方程式をGreen関数によって解く。その一般的な解き方の詳細と構造については、「Green関数の簡単な意味（基礎）」に書いた。その概要は、

「微分方程式を解いて $\phi$ を求める」

という問題を

「Green関数の満たすべき方程式を解いてGreen関数を求める」

という問題に置き換えることである。今の場合、

$\begin{eqnarray*} \nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\cdots(*) \end{eqnarray*}$

に対して、Green関数が満たすべき方程式は

$\begin{eqnarray*} \nabla^2 G(\bfr-\bfr')=\delta(\bfr-\bfr')\quad\cdots(*)' \end{eqnarray*}$

である。右辺はデルタ関数。

(*)’により $G(\bfr-\bfr')$ が求まれば、

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)=\int G(\bfr-\bfr')\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr' \end{eqnarray*}$

が(*)の解になる。

実際、(*)の左辺は

$\begin{eqnarray*} \nabla^2\phi({\bfr})&=&\int\textcolor{red}{\nabla^2 G(\bfr-\bfr')} \left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& \int\textcolor{red}{\delta(\bfr-\bfr')}\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& -\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

となり、右辺に一致する。

2. ポアソン方程式を解く

　元々の微分方程式を直接解いてスカラーポテンシャルを求める代わりに、Green関数を求めればよいことがわかった。ここでは以下の手順でGreen関数を求めていく。

Green関数が満たす式を作る
その式を解くためにフーリエ変換を利用する
積分するために球座標に変換する

Green関数が満たす式

　まず、Green関数 $G(\bfr-\bfr')$ が満たす方程式は以下の通り。

$\begin{eqnarray*} \nabla^2 G({\bfr}-{\bfr}')=\delta({\bfr}-{\bfr}')\quad\cdots(*)'' \end{eqnarray*}$

この $G({\bfr}-{\bfr'})$ が分かれば、 $\phi(\bfr)$ が分かることは上で述べた通りである。

解くためのフーリエ変換

　式(*)”を解くためにフーリエ変換を行う。 ${\bfr}=(x,y,z)$ は３次元であるため、フーリエ変換も各 $x,y,z$ について行う。（よくわからない場合は、フーリエ変換の意味はあまり考えなくて良い。とにかく定義通り計算していこう。）

３次元のフーリエ変換

$\begin{eqnarray*} f({\bfr})\equiv f(x,y,z)&=&\frac{1}{(2\pi)^3} \iiint F(k_x,k_y,k_z)e^{ik_x x}e^{ik_y y}e^{ik_z z}\,dk_x dk_y dk_z\\\\ &\equiv& \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint F({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{\bfr}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

今の場合、

左辺の $G({\bfr}-{\bfr}')$ のフーリエ変換：

$\begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr'})=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \quad\cdots(**) \end{eqnarray*}$

右辺の $\delta({\bfr}-{\bfr}')\equiv\delta(x-x')\delta(y-y')\delta(z-z')$ のフーリエ変換：

$\begin{eqnarray*} \delta({\bfr}-{\bfr'})=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf 1}\cdot e^{i{\bf k}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

(デルタ関数のフーリエ変換が1になることを思い出す。)

　したがって、式(*)”は、

$\begin{eqnarray*} \nabla^2\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} =\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf 1}\cdot e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

となる。

　この左辺を計算していこう。まず、 $\nabla^2$ は $\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ のように ${\bfr}=(x,y,z)$ に作用し、 ${\bfr}'=(x',y',z')$ には作用しないことに注意する。

$x$ について計算する。

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(e^{ik_x(x-x')}e^{ik_y(y-y')}e^{ik_z(z-z')}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(ik_x)^2 G({\bfk})\left(e^{ik_x(x-x')}e^{ik_z(y-y')}e^{ik_z(z-z')}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_x^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

$y,z$ も同様に

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_y^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\\\\\\ &&\frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_z^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

以上より

$\begin{eqnarray*} &&\nabla^2\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\left[-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\right]G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

となる。よって式(*)”は

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\left[-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\right]G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf1}\cdot e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

　被積分関数を等しいとして、

$\begin{eqnarray*} G({\bfk})&=&-\frac{1}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\\\\ &=&-\frac{1}{k^2}\quad(k=|{\bfk}|) \end{eqnarray*}$

となる。これでGreen関数のフーリエ成分（ ${\bfk}$ 成分）が求まったので、逆フーリエ変換(式(**))により

$\begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr}')&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}\,d{\bfk}\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\frac{e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}}{k^2}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}$

となる。あとは最後の積分を計算してやれば良い。

積分のための球座標変換

　3次元の直交座標（ $k_x,k_y,k_z$ ）における積分は、以下の球座標（極座標）に変換すると計算しやすい。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} k_x=k\cos\phi\sin \theta\\ k_y=k\sin \phi\sin \theta\\ k_z=k\cos\theta \end{cases} \quad(k:0\to\infty,\,\phi:0\to2\pi,\,\theta:0\to\pi) \end{eqnarray*}$

$d{\bfk}=k^2\sin \theta dk d{\theta} d\phi$ である。 ${\bfk}$ ベクトルの取り方は、 ${\bfr}-{\bfr}'$ を基準にとる（下図）。これで内積も計算できる。

　積分計算していこう。 $\phi$ は簡単に積分できる。 $\theta$ の積分の後、 $k$ の積分を実行する。

$\begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr}')&=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\frac{e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}}{k^2}\,d{\bfk}\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}dk \,\frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}}{k^2}\, k^2\sin \theta\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\,2\pi\, \int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}dk \,e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}\sin \theta\\\\ &=& -\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \left[-\frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}}{ik|{\bfr}-{\bfr}'|}\right]_0^{\pi}\\\\ &=& \textcolor{red}{-}\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|}-e^{-ik|{\bfr}-{\bfr}'|}} {ik|{\bfr}-{\bfr}'|}\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \frac{2\sin k|{\bfr}-{\bfr}'|}{k|{\bfr}-{\bfr}'|}\quad(\because\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i})\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2}\, \frac{2}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\textcolor{red}{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx}\quad(x=k|{\bfr}'-{\bfr}'|)\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2}\, \frac{2}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\textcolor{red}{\frac{\pi}{2}}\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi|{\bfr}-{\bfr}'|}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　最後の赤字の積分はディリクレ積分として知られており、複素積分を用いて解くことができる。

　以上、Green関数を求めることができた。結果は重要である。

ポイント

$\begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr'})=-\frac{1}{4\pi|{\bfr}-{\bfr}'|} \end{eqnarray*}$

【結果】ポアソン方程式の解：スカラーポテンシャル

　以上より、スカラーポテンシャルが求めることができる。

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\int G(\bfr-\bfr')\left(-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=&\textcolor{red}{+}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d\bfr \end{eqnarray*}$

　これは重要な結果である。また、ここで扱ったGreen関数のおおまかなイメージは「Green関数の簡単な意味（基礎）」を参考にされたい。

3. よく見る具体的な形

　最後に具体的な形をまとめおこう。

空間の電荷が電荷密度によって表されている場合：

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho({\bfr'})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr' \end{eqnarray*}$

原点に点電荷 $+Q$ がある場合：

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{+Q\delta({\bfr'})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr|} \end{eqnarray*}$

$\bfr'={\bfR}$ に点電荷 $+Q$ がある場合：

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{+Q\delta({\bfr'}-{\bfR})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr-{\bfR}|} \end{eqnarray*}$

異なる位置に複数の点電荷 $+Q$ がある場合：

$\begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\sum_{i}\delta({\bfr'}-{\bfR}_i)}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \sum_i\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr-{\bfR}_i|} \end{eqnarray*}$

4. まとめ

　偏微分方程式、フーリエ変換、極座標積分、ディリクレ積分、Green関数など計算は大変だったと感じる。ただ、得られた結果は重要なものである。 Green関数を使った微分方程式の解法としての練習問題にもよかろう。