【電磁気学】ポアソン方程式からスカラーポンテシャル/Green関数


 電磁気学でよく目にする以下のポアソン方程式を解いていこう。 この式は偏微分方程式であり、「グリーン関数」なるもので解くことができる。

ポイント

    \begin{eqnarray*} &&\nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\\\\ &&\Rightarrow \quad \phi({\bfr})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d{\bfr}' \end{eqnarray*}




1. Green関数を使った解法の概要

 微分方程式をGreen関数によって解く。 その一般的な解き方の詳細と構造については、「Green関数の簡単な意味(基礎)」に書いた。 その概要は、

「微分方程式を解いて\phiを求める」

という問題を

「Green関数の満たすべき方程式を解いてGreen関数を求める

という問題に置き換えることである。 今の場合、

    \begin{eqnarray*} \nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\cdots(*) \end{eqnarray*}

に対して、Green関数が満たすべき方程式は

    \begin{eqnarray*} \nabla^2 G(\bfr-\bfr')=\delta(\bfr-\bfr')\quad\cdots(*)' \end{eqnarray*}

である。右辺はデルタ関数。


(*)’によりG(\bfr-\bfr')が求まれば、

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)=\int G(\bfr-\bfr')\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr' \end{eqnarray*}

が(*)の解になる。


実際、(*)の左辺は

    \begin{eqnarray*} \nabla^2\phi({\bfr})&=&\int\textcolor{red}{\nabla^2 G(\bfr-\bfr')} \left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& \int\textcolor{red}{\delta(\bfr-\bfr')}\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& -\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

となり、右辺に一致する。


2. ポアソン方程式を解く

 元々の微分方程式を直接解いてスカラーポテンシャルを求める代わりに、Green関数を求めればよいことがわかった。 ここでは以下の手順でGreen関数を求めていく。

  • Green関数が満たす式を作る
  • その式を解くためにフーリエ変換を利用する
  • 積分するために球座標に変換する

Green関数が満たす式

 まず、Green関数G(\bfr-\bfr')が満たす方程式は以下の通り。

    \begin{eqnarray*} \nabla^2 G({\bfr}-{\bfr}')=\delta({\bfr}-{\bfr}')\quad\cdots(*)'' \end{eqnarray*}

この G({\bfr}-{\bfr'}) が分かれば、\phi(\bfr)が分かることは上で述べた通りである。


解くためのフーリエ変換

 式(*)”を解くためにフーリエ変換を行う。{\bfr}=(x,y,z)は3次元であるため、 フーリエ変換も各x,y,zについて行う。 (よくわからない場合は、フーリエ変換の意味はあまり考えなくて良い。とにかく定義通り計算していこう。)


3次元のフーリエ変換

    \begin{eqnarray*} f({\bfr})\equiv f(x,y,z)&=&\frac{1}{(2\pi)^3} \iiint F(k_x,k_y,k_z)e^{ik_x x}e^{ik_y y}e^{ik_z z}\,dk_x dk_y dk_z\\\\ &\equiv& \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint F({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{\bfr}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}


今の場合、

左辺のG({\bfr}-{\bfr}')のフーリエ変換:

    \begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr'})=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \quad\cdots(**) \end{eqnarray*}


右辺の\delta({\bfr}-{\bfr}')\equiv\delta(x-x')\delta(y-y')\delta(z-z')のフーリエ変換:

    \begin{eqnarray*} \delta({\bfr}-{\bfr'})=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf 1}\cdot e^{i{\bf k}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}

(デルタ関数のフーリエ変換が1になることを思い出す。)


 したがって、式(*)”は、

    \begin{eqnarray*} \nabla^2\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} =\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf 1}\cdot e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}

となる。


 この左辺を計算していこう。まず、\nabla^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} のように{\bfr}=(x,y,z)に作用し、{\bfr}'=(x',y',z')には作用しないことに注意する。

xについて計算する。

    \begin{eqnarray*} &&\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(e^{ik_x(x-x')}e^{ik_y(y-y')}e^{ik_z(z-z')}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(ik_x)^2 G({\bfk})\left(e^{ik_x(x-x')}e^{ik_z(y-y')}e^{ik_z(z-z')}\right)\,d{\bfk}\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_x^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}


y,zも同様に

    \begin{eqnarray*} &&\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_y^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\\\\\\ &&\frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint(-k_z^2)G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}


以上より

    \begin{eqnarray*} &&\nabla^2\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}\right)\\\\ &&\quad= \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\left[-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\right]G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}

となる。よって式(*)”は

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\left[-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\right]G({\bfk})\,e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk}=\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint{\bf1}\cdot e^{i{\bfk}\cdot{(\bfr-\bfr')}}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}



 被積分関数を等しいとして、

    \begin{eqnarray*} G({\bfk})&=&-\frac{1}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\\\\ &=&-\frac{1}{k^2}\quad(k=|{\bfk}|) \end{eqnarray*}

となる。これでGreen関数のフーリエ成分({\bfk}成分)が求まったので、 逆フーリエ変換(式(**))により

    \begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr}')&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint G({\bfk})e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}\,d{\bfk}\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\frac{e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}}{k^2}\,d{\bfk} \end{eqnarray*}

となる。あとは最後の積分を計算してやれば良い。


積分のための球座標変換

 3次元の直交座標(k_x,k_y,k_z)における積分は、以下の球座標(極座標)に変換すると計算しやすい。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} k_x=k\cos\phi\sin \theta\\ k_y=k\sin \phi\sin \theta\\ k_z=k\cos\theta \end{cases} \quad(k:0\to\infty,\,\phi:0\to2\pi,\,\theta:0\to\pi) \end{eqnarray*}

d{\bfk}=k^2\sin \theta dk d{\theta} d\phiである。 {\bfk}ベクトルの取り方は、{\bfr}-{\bfr}'を基準にとる(下図)。 これで内積も計算できる。

 積分計算していこう。 \phiは簡単に積分できる。\thetaの積分の後、kの積分を実行する。

    \begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr}')&=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\iiint\frac{e^{i{\bfk}\cdot({\bfr}-{\bfr}')}}{k^2}\,d{\bfk}\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}dk \,\frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}}{k^2}\, k^2\sin \theta\\\\ &=& -\frac{1}{(2\pi)^3}\,2\pi\, \int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}dk \,e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}\sin \theta\\\\ &=& -\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \left[-\frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|\cos\theta}}{ik|{\bfr}-{\bfr}'|}\right]_0^{\pi}\\\\ &=& \textcolor{red}{-}\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \frac{e^{ik|{\bfr}-{\bfr}'|}-e^{-ik|{\bfr}-{\bfr}'|}} {ik|{\bfr}-{\bfr}'|}\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty}dk \frac{2\sin k|{\bfr}-{\bfr}'|}{k|{\bfr}-{\bfr}'|}\quad(\because\sin \theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i})\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2}\, \frac{2}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\textcolor{red}{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx}\quad(x=k|{\bfr}'-{\bfr}'|)\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi^2}\, \frac{2}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\textcolor{red}{\frac{\pi}{2}}\\\\ &=&-\frac{1}{4\pi|{\bfr}-{\bfr}'|}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

 最後の赤字の積分はディリクレ積分として知られており、 複素積分を用いて解くことができる

 以上、Green関数を求めることができた。 結果は重要である。

ポイント

    \begin{eqnarray*} G({\bfr}-{\bfr'})=-\frac{1}{4\pi|{\bfr}-{\bfr}'|} \end{eqnarray*}


【結果】ポアソン方程式の解:スカラーポテンシャル

 以上より、 スカラーポテンシャルが求めることができる。

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\int  G(\bfr-\bfr')\left(-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=&\textcolor{red}{+}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d\bfr \end{eqnarray*}

 これは重要な結果である。 また、ここで扱ったGreen関数のおおまかなイメージは「Green関数の簡単な意味(基礎)」を参考にされたい。


3. よく見る具体的な形

 最後に具体的な形をまとめおこう。


空間の電荷が電荷密度によって表されている場合:

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho({\bfr'})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr' \end{eqnarray*}


原点に点電荷+Qがある場合:

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{+Q\delta({\bfr'})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr|} \end{eqnarray*}


\bfr'={\bfR}に点電荷+Qがある場合:

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{+Q\delta({\bfr'}-{\bfR})}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr-{\bfR}|} \end{eqnarray*}


異なる位置に複数の点電荷+Qがある場合:

    \begin{eqnarray*} \phi(\bfr)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\sum_{i}\delta({\bfr'}-{\bfR}_i)}{|\bfr-\bfr'|}d\bfr'\\\\ &=& \sum_i\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|\bfr-{\bfR}_i|} \end{eqnarray*}


4. まとめ

 偏微分方程式、フーリエ変換、極座標積分、ディリクレ積分、Green関数など計算は大変だったと感じる。ただ、得られた結果は重要なものである。 Green関数を使った微分方程式の解法としての練習問題にもよかろう。



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