二項定理を利用してΣを使わない形にする例題

二項定理

$\begin{eqnarray*}(a+b)^n &=& C_n^0 a^0 b^n + C_n^1 a^1 b^{n-1}+C_n^2 a^2 b^{n-2}+\cdots +C_n^n a^n b^0\\ \\ &=&\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k} \end{eqnarray*}$

　ここで、組み合わせ $C_{n}^{k}=_nC_k$ としている。上の二項定理を使えば和 $\sum$ は $(\quad)^*$ の形に表すことができる。これを利用したさまざまな問題があるので、ここでは解き方とともに紹介する。

二項定理を使ったいくつかの例題

次の式を和を用いない形に表せ。（ $n$ は自然数）

$\begin{eqnarray*} &&(1)\;\sum_{k=0}^{n} C_n^k \\ &&(2)\;\sum_{k=0}^{n} 3^k C_n^k \\ &&(3)\;\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k\\ &&(4)\;\sum_{k=0}^{n} k_n C_n^k \\ &&(5)\;\sum_{k=0}^{n} k^2 C_n^k \\ &&(6)\;\sum_{k=0}^{n} k^3 C_n^k \end{eqnarray*}$

1. 解答
2. まとめ

1. 解答

　方針：二項定理の $a,b$ を何にすれば良いか考える。

(1)の解答

　【解答】 $a=1,b=1$ と置けば良い。

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} C_n^k =2^n \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

(2)の解答

　【解答】 $a=3,b=1$ と置けば良い。( $b^{n-k}=1$ )

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} 3^k C_n^k = (3+1)^n = 4^n \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

(3)の解答

　【解答】 $a=1,b=-1$ と置けば良い。

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} C_n^k =(1-1)^n = 0 \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

(4) の解答

【解答】 $a=x,b=1$ と置く。このとき、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{k} = (1+x)^n \end{eqnarray*}$

両辺を $x$ で微分して( $1\leq n$ )、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k} &=& n(1+x)^{n-1}\\ \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{n} k C_n^k x^{k-1} &=& n\,(1+x)^{n-1}\\ (\because 0\cdot C_n^0 &=& 0) \end{eqnarray*}$

左辺の $\sum_{k=0}^{n} k C_n^k$ を利用するために、 $x=1$ と置くと、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n\,2^{n-1} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

途中にできてきた $(1+x)^n$ を微分して使う方法は覚えておくと良い。

ポイント

二項定理の公式において $a=x,b=1$ と置いた

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{k} &=& (1+x)^n \end{eqnarray*}$

の両辺を $x$ で微分して、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k C_n^k x^{k-1} &=& n\,(1+x)^{n-1} \quad \cdots (*)\\ \end{eqnarray*}$

(5) の解答

【解答】式 (*) をさらに $x$ で微分して( $2\leq n$ )、

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left[\sum_{k=0}^{n} k C_n^k x^{k-1}\right] &=& \frac{d}{dx}\left[n\,(1+x)^{n-1}\right]\\ \\ \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{n} k(k-1) C_n^k x^{k-2} &=& n(n-1)\,(1+x)^{n-2} \quad \cdots (*)' \end{eqnarray*}$

となる。 $x=1$ を代入して、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k(k-1) C_n^k = n(n-1)\,2^{n-2} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

$n=1$ も含めた答えになる。

【補足】

　右辺を展開して、(4)の結果を用いると以下の式を得る。

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k(k-1) C_n^k x^{k-2} &=& n^2\,(1+x)^{n-2} -n^2\,(1+x)^{n-2} \\ \\ \sum_{k=0}^{n} k(k-1) C_n^k x^{k-2} &=& n^2\,(1+x)^{n-2} - \sum_{k=0}^{n} k C_n^k x^{k-1} \\ \\ \sum_{k=0}^{n} k(k-1) C_n^k x^{k-2} + \sum_{k=0}^{n} k C_n^k x^{k-1} &=& n^2\,(1+x)^{n-2}\\ \\ \end{eqnarray*}$

(6) の解答

【解答】(5)と同じように、式(*)’ を微分する

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-3) C_n^k x^{k-3} &=& n(n-1)(n-2)\,(1+x)^{n-3} \end{eqnarray*}$

に $x=1$ を代入して、

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k(k-1)(k-2) C_n^k = n(n-1)(n-2)\,2^{n-3} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

$k^4$ のとき（ $\sum_{k} k^4 C_n^k$ ）以上の場合でも同様にして微分していけば計算できる。ただし、 $n$ の範囲は注意する。

2. まとめ

　二項定理を使った計算をまとめた。ここにある例題は基本的に以下の2つの方針で計算することができる。

$a,b$ の値を決める
$a=x,b=1$ の二項展開に対して微分をうまく使う

よくある二項定理の計算だが忘れがちなので確認しておきたい。