【微分】∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z を極座標表示に変換

　 $\partial /\partial x,\partial /\partial y,\partial /\partial z$ を $\partial /\partial r,\partial /\partial \theta,\partial /\partial \phi$ で表すための計算をおこなう。これは、２階微分を含んだラプラシアンの極座標表示を導くときに使う。よくみる結果だけ最初に示す。

１階微分の極座標表示

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}&=&\sin{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\cos{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial \theta} -\frac{1}{r}\frac{\sin{\phi}}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial}{\partial y}&=& \sin{\phi}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\cos{\theta}\sin{\phi} \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{r}\cos{\phi}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial}{\partial z}&=& \cos{\theta} \frac{\partial}{\partial r} -\frac{1}{r}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{eqnarray*}$

1. 極座標表示
2. １階の偏微分を極座標表示
3. まとめ

1. 極座標表示

　一般的な極座標変換は以下の図に従えば良い。 $\theta$ と $\phi$ の取り方に注意してほしい。

　変換 $(x,y,z)\rightarrow(r,\theta,\phi)$ は以下の通りである。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} x=r\cos{\phi}\sin{\theta}\\ y=r\sin{\phi}\sin{\theta}\\ z=r\cos{\theta} \end{cases} \end{eqnarray*}$

2. １階の偏微分を極座標表示

目標： $\partial x,\partial y,\partial z$ を $\partial r,\partial \theta, \partial \phi$ で表す。

微分のチェーンルールより、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}= \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}\; \cdots (*) \end{eqnarray*}$

である。 $y,z$ に関しても同様である。

2.1 ∂r/∂x、∂r/∂y、∂r/∂z

$\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial r}{\partial z}$ について：

極座標変換から、

$\begin{eqnarray*} r^2 = x^2 + y^2 +z^2 \end{eqnarray*}$

である。これの両辺を $x$ で偏微分して、

$\begin{eqnarray*} 2r \frac{\partial r}{\partial x} &=& 2x\\ \\ \therefore \frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{x}{r} =\frac{r\cos{\phi}\sin{\theta}}{r}= \textcolor{red}{\cos{\phi}\sin{\theta}} \end{eqnarray*}$

$y$ についても同様に、

$\begin{eqnarray*} 2r \frac{\partial r}{\partial y} &=& 2y\\ \\ \therefore \frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{y}{r} =\frac{r\sin{\phi}\sin{\theta}}{r}=\textcolor{red}{\sin{\phi}\sin{\theta}} \end{eqnarray*}$

である。 $z$ について、

$\begin{eqnarray*} 2r \frac{\partial r}{\partial z} &=& 2z\\ \\ \therefore \frac{\partial r}{\partial z} &=& \frac{z}{r} =\frac{r\cos{\theta}}{r}=\textcolor{red}{\cos{\theta}} \end{eqnarray*}$

となる。

2.2 ∂θ/∂x、∂θ/∂y、∂θ/∂z

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \sin^2{\theta}\\ z^2 = r^2 \cos^2{\theta} \end{eqnarray*}$

より

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+y^2}{z^2}=\tan^2{\theta} \end{eqnarray*}$

である。両辺を $x$ で偏微分して、

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{z^2}&=&2\tan{\theta}\frac{1}{\cos{\theta}}\frac{\partial \theta}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial \theta}{\partial x}&=& \frac{x}{z^2}\frac{\cos^2{\theta}}{\tan{\theta}}\\\\ &=& \textcolor{red}{\frac{1}{r}\cos{\theta}\cos{\phi}} \end{eqnarray*}$

$y$ についても同様に、

$\begin{eqnarray*} \frac{2y}{z^2}&=&2\tan{\theta}\frac{1}{\cos{\theta}}\frac{\partial \theta}{\partial y} \\ \\ \frac{\partial \theta}{\partial y}&=& \frac{y}{z^2}\frac{\cos^2{\theta}}{\tan{\theta}}\\\\ &=& \textcolor{red}{\frac{1}{r}\cos{\theta}\sin{\phi}} \end{eqnarray*}$

$z$ については、 $\ln$ をとったものを微分して計算する。

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+y^2}{z^2}&=&\tan^2{\theta}\\ \\ \ln{(x^2+y^2)}-\ln{(z^2)}&=&2\ln{(\tan{\theta})}\\ \\ \\ \therefore -\frac{2}{z}&=&\frac{2}{\tan{\theta}}\cdot\frac{1}{\cos^2{\theta}}\frac{\partial \theta}{\partial z} \end{eqnarray*}$

である。したがって、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \theta}{\partial z} &=&-\frac{\sin{\theta}\cos{\theta}}{z}\\ \\&=& \textcolor{red}{-\frac{1}{r}\sin{\theta}} \end{eqnarray*}$

2.3 ∂φ/∂x、∂φ/∂y、∂φ/∂z

$\begin{eqnarray*} \tan{\phi}=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

を利用する。両辺を $x$ で偏微分して、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^2{\phi}}\frac{\partial \phi}{\partial x}&=&-\frac{y}{x^2} = -\frac{1}{r}\frac{\sin{\phi}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}\\ \\ \therefore \frac{\partial \phi}{\partial x}&=& \textcolor{red}{-\frac{1}{r}\frac{\sin{\phi}}{\sin{\theta}}} \end{eqnarray*}$

$y$ について、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^2{\phi}}\frac{\partial \phi}{\partial y}&=&\frac{1}{x} = \frac{1}{r\cos{\phi}\sin{\theta}}\\ \\ \therefore \frac{\partial \phi}{\partial y}&=& \textcolor{red}{\frac{1}{r} \frac{\cos{\phi}}{\sin{\theta}}} \end{eqnarray*}$

$z$ について、 $\phi$ は $z$ に依存しない（ $\phi$ は $xy$ 平面内の角度）。したがって、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial z}=\textcolor{red}{0} \end{eqnarray*}$

2.4 ∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z を極座標表示

　上の結果をすべてまとめる。 $x$ についてチェーンルール(*) より、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}&=& \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}\\ \\ &=& \textcolor{red}{ \sin{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\cos{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial \theta} -\frac{1}{r}\frac{\sin{\phi}}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi}} \end{eqnarray*}$

$y$ について：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}&=& \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \phi}\\ \\ &=&\textcolor{red}{ \sin{\phi}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\phi}} \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{r}\cos{\phi}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}} \end{eqnarray*}$

$z$ について：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial z}&=& \frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+ \frac{\partial \theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \phi}\\ \\ &=&\textcolor{red}{ \cos{\theta} \frac{\partial}{\partial r} -\frac{1}{r}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} } \end{eqnarray*}$

以上で、１階微分を極座標表示できた。再度まとめておく。

１階微分の極座標表示

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}&=&\sin{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\cos{\theta}\cos{\phi} \frac{\partial}{\partial \theta} -\frac{1}{r}\frac{\sin{\phi}}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial}{\partial y}&=& \sin{\phi}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{r}\cos{\theta}\sin{\phi} \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{r}\frac{\cos{\phi}}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial}{\partial z}&=& \cos{\theta} \frac{\partial}{\partial r} -\frac{1}{r}\sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{eqnarray*}$

3. まとめ

計算のポイントは、

チェーンルールを使う
うまい変形を使う（計算量を減らす）
１個１個丁寧に求める

ことである。

　一度導出したら２度とやりたくない計算ではある。しかし、鬼畜の所業はラプラシアンの極座標表示に続く。