【微分方程式】例題で学ぶ：リカッチ(リカティ)型の解法

　リカッチ（リカティ、Riccati）の微分方程式は

$\begin{eqnarray*} y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2 \end{eqnarray*}$

の形をしている。一般的には解けないが、１つの特解 $y_1$ がわかっているときは $y=z+y_1$ とおくことでベルヌーイの微分方程式に帰着して解ける。ベルヌーイ型は線形型に帰着するため

リカッチ型 → ベルヌーイ型 → 線形型

のようにより簡単な微分方程式に帰着させて解く。ここでは例題を通して、リカッチ型の解法を習得しよう。

例題：リカッチの微分方程式

以下のリカッチの微分方程式の特解を見つけて解こう。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad y'+y^2-5y+6=0\\ &&(2)\quad xy'=2x+x^2-(2x+1)y+y^2 \end{eqnarray*}$

1. リカッチの微分方程式の解き方
2. 例題の解答
- 例題(1)の解答
- 例題(2)の解答
3. まとめ

1. リカッチの微分方程式の解き方

　特殊なタイプの微分方程式は、「解けるタイプの微分方程式」に帰着させて解く。リカッチ型はベルヌーイ型に帰着される。

ベルヌーイの微分方程式とは？

　もしベルヌーイ型の微分方程式の形とその解法がわからなければ、先にそちらを習得するべきである。ここでは簡単に、ベルヌーイ型の微分方程式をまとめておく。

【参考】例題で学ぶ：ベルヌーイの微分方程式の解法

【参考】公式を覚えず解く「１次線形型微分方程式」のわかりやすい解法

簡単な復習

ベルヌーイ型：

$\begin{eqnarray*} y'+P(x)y=R(x)y^{\textcolor{red}{n}} \end{eqnarray*}$

で $z=y^{1-n}$ により以下の「線形型」に帰着する。

線形型：

$\begin{eqnarray*} y'+\tilde{P}(x)y=\tilde{Q}(x) \end{eqnarray*}$

ベルヌーイ型に帰着することを確認

リカッチの微分方程式

$\begin{eqnarray*} y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2 \end{eqnarray*}$

の特解の一つを $y_1$ とする。つまり、

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{y_1'=P(x)+Q(x)y_1+R(x)y_1^2} \quad\cdots (*) \end{eqnarray*}$

である。

リカッチ型の解の形を $\textcolor{red}{y=z+y_1}$ と置く。 $y'=z'+y_1'$ より微分方程式は、

$\begin{eqnarray*} z'+\textcolor{blue}{y_1'}&=&P(x)+Q(x)(\textcolor{red}{z+y_1})+R(x)(\textcolor{red}{z+y_1})^2\\\\ &=&\textcolor{blue}{P(x)+Q(x)y_1+R(x)y_1^2}\\ &&\quad\quad +Q(x)z+R(x)(z^2+2y_1 z) \end{eqnarray*}$

(*)より、青色の部分は消えるため、

$\begin{eqnarray*} z'&=&\bigl( Q(x)+2y_1 R(x) \bigr)z+R(x)z^2\\\\ z'-\bigl(Q(x)+2y_1 R(x) \bigr)z&=&R(x)z^{\textcolor{red}{2}}\quad \cdots (*)' \end{eqnarray*}$

となる。これは、 $z$ に関するベルヌーイ型の微分方程式である。確かにリカッチ型はベルヌーイ型に帰着する。

リカッチの微分方程式の一般解

　上のベルヌーイ型を解く。

$\begin{eqnarray*} u&=&z^{1-\textcolor{red}{2}}=z^{-1}\\\\ u'&=&-z^{-2}\cdot z' \end{eqnarray*}$

より、ベルヌーイ型(*)’の両辺に $-z^{-2}$ をかける。

$\begin{eqnarray*} &&-z^{-2}\cdot z'+\bigl(Q(x)+2y_1 R(x)\bigr)z^{-2}\cdot z=R(x)z^{-2}\cdot z^2\\\\ \Leftrightarrow && \quad u'+\bigr(Q(x)+2y_1 R(x)\bigr)u=R(x) \end{eqnarray*}$

となり、線形型に帰着する。

したがって、両辺に

$\begin{eqnarray*} e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx} \end{eqnarray*}$

をかけて、

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx} u\right) =\int R(x)e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \therefore u=e^{-\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx} \left\{\int R(x)e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx}\,dx + C\right\} \end{eqnarray*}$

以上より、

$\begin{eqnarray*} z=u^{-1}=\frac{e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx}}{\left\{R(x)e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx}\,dx + C\right\}} \end{eqnarray*}$

したがって、リカッチ型の一般解は

$\begin{eqnarray*} y=y_1+\frac{e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx}}{\left\{\int R(x)e^{\int(Q(x)+2y_1 R(x))\,dx}\,dx + C\right\}} \end{eqnarray*}$

である。当たり前だが、これは覚える式ではない。

解き方の流れまとめ

リカッチ型を解くための前提は

特解が見つけられる
ベルヌーイ型が解ける
線形型が解ける（ベルヌーイ型は線形型に帰着するため）

リカッチの微分方程式まとめ

リカッチの微分方程式

$\begin{eqnarray*} y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2 \end{eqnarray*}$

は特解 $y_1$ が分かれば、以下の流れで解くことができる。

特解 $y_1$ を見つける
解を $y=z+y_1$ とおくと $z$ に関してベルヌーイの微分方程式になる
$u=z^{-1}$ とおいて線形型に帰着させる（ベルヌーイの微分方程式の解法）
線形型を解いて $u$ を求める（１次線形型微分方程式の解法）
$u\to z \to y$ と変数を戻す

2. 例題の解答

　以下の解答で、 $C,C_1$ は定数である。 (1)は変数分離型でも解ける。

例題(1)の解答

　特解を探す：

$\begin{eqnarray*} y'+y^2-5y+6=0 \end{eqnarray*}$

の特解の一つは

$\begin{eqnarray*} y_1=2 \end{eqnarray*}$

である。

$\textcolor{red}{y=2+z}$ と置く：

$\begin{eqnarray*} y'=z' \end{eqnarray*}$

より

$\begin{eqnarray*} &&z'+(2+z)^2-5(z+2)+6=0\\\\ &&\quad \Leftrightarrow \quad z'-z=-z^{\textcolor{red}{2}}\quad\cdots (*) \end{eqnarray*}$

のベルヌーイ型（あるいは変数分離型）。ここでは練習のため、ベルヌーイ型として解く。

$u=z^{1-\textcolor{red}{2}}=z^{-1}$ と置く：

$\begin{eqnarray*} u'=-z^{-2}\cdot z' \end{eqnarray*}$

より、(*)の両辺に $-z^{-2}$ をかけて

$\begin{eqnarray*} -z^{-2}z'+z^{-1}&=&1\\\\ u'+u&=&1 \end{eqnarray*}$

の線形型（あるいは変数分離型）になる。

両辺にかけるもの：

$\begin{eqnarray*} e^{\int \,dx}=Ce^{x}\quad\Rightarrow \quad e^{x} \end{eqnarray*}$

両辺に $e^{x}$ をかける：

$\begin{eqnarray*} &&e^{x} u'+e^{x} u=e^{x}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \frac{d}{dx}\left[e^{x} u\right]= e^{x}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& e^{x}u=\int e^{x}\,dx=e^{x}+C\\\\ \Leftrightarrow \quad&& u=1+Ce^{-x} \end{eqnarray*}$

$u\to z\to y$ ：

$\begin{eqnarray*} y=2+z&=&2+u^{-1}\\ &=& 2+\frac{1}{1+C e^{-x}}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

*答え方は定数項 $C$ の取り方で変わる。以下のような形でもよい。

$\begin{eqnarray*} y=\frac{3+2Ce^{-x}}{1+Ce^{-x}}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

例題(2)の解答

$\begin{eqnarray*} xy'&=&2x+x^2-(2x+1)y+y^2\\\\ y'&=&2+x-\frac{2x+1}{x}y+\frac{1}{x}y^2 \end{eqnarray*}$

はリカッチ型で、特解の一つは $y_1=x$ である。つまり、

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{x'=1=2+x-\frac{2x+1}{x}\,x+\frac{1}{x}\,x^2} \end{eqnarray*}$

が成り立つ。

$\textcolor{red}{y=z+x}$ と置く：

$\begin{eqnarray*} y'=z'+1 \end{eqnarray*}$

より

$\begin{eqnarray*} z'+1&=&2+x-\frac{2x+1}{x}(z+x)+\frac{1}{x}(z+x)^2\\\\ \Leftrightarrow \quad z'+\cancel{\textcolor{blue}{1}} &=&\cancel{\textcolor{blue}{2+x-(2x+1)+x}}\\ &&\quad\quad-\frac{2x+1}{x}z+2z+\frac{1}{x}z^2 \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} z'+\frac{1}{x}z=\frac{1}{x}z^2 \end{eqnarray*}$

のベルヌーイ型に帰着する。

$u=z^{1-\textcolor{red}{2}}=z^{-1}$ と置く：

$\begin{eqnarray*} u'=-z^{-2}\,z' \end{eqnarray*}$

より、ベルヌーイ型の両辺に $-z^{-2}$ をかけて

$\begin{eqnarray*} -z^{-2}\,z'-\frac{1}{x}z^{-1}&=&-\frac{1}{x}\\\\ u'-\frac{1}{x}u&=&-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

の線形型に帰着する。

両辺にかけるもの：

$\begin{eqnarray*} e^{\int -\frac{dx}{x}}=e^{-\log|x|+C}\quad\Rightarrow \quad \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

線形型の両辺に $\frac{1}{x}$ をかける：

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}u'-\frac{1}{x^2}u=-\frac{1}{x^2}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \frac{u}{x}=-\int \frac{dx}{x^2}=\frac{1}{x}+C \end{eqnarray*}$

したがって

$\begin{eqnarray*} u=Cx+1 \end{eqnarray*}$

$u\to z\to y$ ：

$\begin{eqnarray*} y=x+z&=&x+u^{-1} \\\\ &=&x+\frac{1}{Cx+1}\\\\ &=&\frac{Cx^2+x+1}{Cx+1}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

3. まとめ

　リカッチの微分方程式の解き方を学んだ。特解を見つけてから

リカッチ型　→　ベルヌーイ型　→　線形型

と帰着させることで解けることがわかった。ポイントである、 $\textcolor{red}{y=y_1+z}$ の置き方だけ覚えておけば良いだろう。

1. リカッチの微分方程式の解き方

ベルヌーイの微分方程式とは？

ベルヌーイ型に帰着することを確認

リカッチの微分方程式の一般解

解き方の流れまとめ

2. 例題の解答

例題(1)の解答

例題(2)の解答

3. まとめ

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