3乗根を含んだ二重根号の外し方【数検1級】

　数学検定1級（数検1級）によくでる三乗根を簡単に計算する方法を紹介します。数検1級に受かる上では知っておくべき計算のひとつでしょう。ここでは、2乗根の二重根号の例をはじめに計算して、三乗根へとつなげます。

　今回、解きたいのは以下の数検1級1次レベルである以下の問題だ。

例題

次の根号を簡単にせよ。

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\end{eqnarray*}$

1. 二重根号を簡単に（高校数学）
- 1.1 よく出る2重根号を外す問題
- 1.2 別解を考える
2. 3乗根を簡単に。
- 2.1 「つまらない」問題
- 2.2 「つまる」問題（数検1級レベル）
3. まとめ

1. 二重根号を簡単に（高校数学）

　これは高校レベルでしょうか。順番に見ていきます。とりあえず例題。

例題1

次の根号を外せ。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a+b\sqrt{3})^2} \end{eqnarray*}$

簡単に外せそうです。

【解答】

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a+b\sqrt{3})^2}=|a+b\sqrt{3}|\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　絶対値を忘れ無いでください。なぜ絶対値がつくかわから無い方は、 $a=-10$ 、 $b=1$ で計算すると分かると思う。左辺のルートは正です。結局、ルートの中に2乗を作ればいいだけです。

次の例題へ行きましょう。

1.1 よく出る2重根号を外す問題

例題2

次の根号を外して簡単にせよ。

$\begin{eqnarray*}\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

　二重根号の問題で、高校数学レベルです。解き方は、 $\sqrt{a+2 b\sqrt{c}}$ の形にすれば良いのでした。つまり、 $(\quad)^2$ の形を目指す。（問題として出されている以上 $\sqrt$ の中身が $(\quad)^2$ となるはずです。）

【解答】

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{3}}&=&\sqrt{ \frac{4-2\sqrt{3}}{2} }\\ &=&\sqrt{ \frac{ \left( \sqrt{3}-\sqrt{1} \right)^2 }{2}}\\ &=&\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\\ &=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　最後の有理化はしなくても正解です。途中の $\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{1}}$ のところで、 $\sqrt{\sqrt{1}-\sqrt{3}}$ としても構いませんが、絶対値を気にし無いといけないので避けた方がいいでしょう。「√(大きい数)-√(小さい数) 」が無難である。

1.2 別解を考える

　無理やり簡単にした形を仮定して解いてみるやり方を紹介します。先ほどの例で解説します。

例題2

次の根号を外して簡単にせよ。

$\begin{eqnarray*}\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

　ルートの中に $\sqrt{3}$ が見えるので、簡単にした形にも $\sqrt{3}$ がありそうです。ということで $a,b$ を実数として下のように置く。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

両辺を2乗して整理する。

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2&=&\left((a+b\sqrt{3}\right)^2\\ \\ 2-\sqrt{3}&=&a^2 +2ab\sqrt{3} + 3b^2 \\ \\ (a^2+3b^2 - 2)+\sqrt{3}(2ab + 1)&=&0 \end{eqnarray*}$

　ここで、 $a,b$ は実数であり $\sqrt{3}$ は無理数であるから、第1項は実数、第2項は無理数である。つまり、それぞれのカッコは0になる。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} a^2+3b^2 - 2=0\\ 2ab + 1 = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

とにかく、この連立方程式を解いて $a,b$ を求めれば良い。この場合、下の式を2倍して上の式に足すと簡単に解ける。

$\begin{eqnarray*} && a^2 + 4ab + 3b^2 = 0 \\ \Leftrightarrow && (a+3b)(a+b)=0 \\ \Leftrightarrow && a=-b,-3b \end{eqnarray*}$

これを下の式に代入して $b$ が求められる。

$\begin{eqnarray*} (a,b)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}),(-\frac{3}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}) \end{eqnarray*}$

1個目の方は、1.1の解法の答えと一致していることがすぐにわかる。2個目の $\sqrt{6}$ について、

$\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{3}&=&-\frac{3}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\,\sqrt{3}\\ &=& -\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\ &=& -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \;(<0) \end{eqnarray*}$

　これは負になる。というのも、 $a+b\sqrt{3}$ と置いて2乗しているために解として、±の形で出てきてしまった。この場合は、 $\sqrt{3} > 0$ であることから、プラスの解を答えとして取れば良い。もちろん、1.1の解き方と同じ結果になる。

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　これが高校数学のレベルである。

2. 3乗根を簡単に。

　 $\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}$ 型の問題に移りたい。

2.1 「つまらない」問題

例題3

次の3重根を簡単にせよ。

$\begin{eqnarray*}\sqrt[3]{(a+b)^3}\end{eqnarray*}$

　簡単に解ける。

$\begin{eqnarray*}\sqrt[3]{(a+b)^3} =a+b \end{eqnarray*}$

　絶対値はいらない。 $\sqrt[3]{-(a+b)^3}=-(a+b)$ のように3乗根はルートの中に負の数が入る時もある。

2.2 「つまる」問題（数検1級レベル）

　 $a=\sqrt{2},\, b=-1$ として $(\sqrt{2}-1)^3$ を展開したもので問題を作る。

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1)^3 &=&2\sqrt{2}-3\cdot 2 +3\sqrt{2} -1 = 5\sqrt{2} - 7 \end{eqnarray*}$

　である。 $\sqrt{2} - 1$ を答えにして問題を作ると下のようになる。

例題4

次の根号を簡単にせよ。

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\end{eqnarray*}$

　急に難しく見えるだろう。2乗根のときと同じ1.1 の方法で、 $\sqrt[3]{\cdots}$ の中身を $(\quad)^3$ の形に持っていくのは難しい。これは式の展開は簡単に行えるが、因数分解は難しいということを意味している。大きな素数同士の積を素因数分解するのが難しいというRSA暗号と同じような理屈であろう。

　そこで、1.2 の方法を継承することになる。 $5\sqrt{2}-7$ の $\sqrt{2}$ に注目して、根号を外した形を仮定する。 $a,b$ は実数とする。

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

両辺を3乗して整理する。

$\begin{eqnarray*} &&5\sqrt{2}-7=a^3 +3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3 \sqrt{2} \\ \\ \Leftrightarrow && 5\sqrt{2}-7 = a^3 + 6ab^2 +\sqrt{2}(3a^2 b + 2b^3)\\ \\ \Leftrightarrow && (a^3 + 6ab^2 + 7) + \sqrt{2}\,(3a^2 b + 2b^3 -5)=0 \\ \\ \therefore && \begin{cases} a^3 + 6ab^2 + 7 =0 \\ 3a^2 b + 2b^3 -5 = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

　この連立方程式を解いて $a,b$ を求めれば良い。ただし、この連立方程式は解きにくいため、上式を5倍、下式を7倍して足して定数項を消してみる。そうすると新しい式を得る。

$\begin{eqnarray*} 5a^3 + 21a^2 b + 30ab^2 + 14 b^3 = 0 \end{eqnarray}$

　これは、以下の $f(x)$ の因数を求める問題と同じ要領で求められる。

例題5

$f(x)$ の因数を求めよ。

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3 + 21 x^2 + 30 x + 14 \end{eqnarray*}$

　数検の1次の問題で出題されるのであれば、係数はそこまで複雑ではない（だろう）。そして、もっと綺麗に連立方程式が解けるように作られてるとも思う。

　ここでは、容易に $f(-1)=0$ がわかるので因数定理より $(x+1)$ を因数にもつ。以下の因数分解は、解の公式やらを用いて複素数の範囲でおこなった

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&5x^3 + 21 x^2 + 30 x + 14\\ \\ &=&(x+1)(5x^2+16x +14)\\ \\ &=&(x+1)\cdot 5\left(x-\frac{-8+\sqrt{(-8)^2 - 5\cdot 14} }{5} \right) \left(x-\frac{-8-\sqrt{(-8)^2 - 5\cdot 14} }{5} \right)\\ \\ &=& 5(x+1)\left(x+\frac{8-i\sqrt{6}}{5}\right) \left(x+\frac{8+i\sqrt{6}}{5}\right) \end{eqnarray*}$