【微分方程式】ダランベール型（ラグランジュ型）の解法

　ダランベール型（ラグランジュ型）の微分方程式は以下の形をしている。

$\begin{eqnarray*} y=xf(p)+g(p)\quad\left(p=\frac{dy}{dx}\right) \end{eqnarray*}$

$f(p)=p$ のときは、クレローの微分方程式である。ここでは $f(p)\neq p$ の一般的なラグランジュの微分方程式を見ていこう。

例題

次の微分方程式を解け。

$\begin{eqnarray*} y=2x\frac{dy}{dx}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \end{eqnarray*}$

1. ラグランジュ型の微分方程式の解法
2. 例題の解答
3. まとめ

1. ラグランジュ型の微分方程式の解法

ダランベール（ラグランジュ）の微分方程式

$\begin{eqnarray*} y=xf(p)+g(p)\quad\left(f(p)\neq q\right)\cdots (1) \end{eqnarray*}$

の解き方は以下の３STEP である。

$x$ で微分する
１次線形型の微分方程式を解く
一般解、特殊解、特異解を調べる

ラグランジュの微分方程式を解く上では、 $x$ で微分すると線形型に変形できることが重要である。このことを確認して、具体的な例題を解いていくのが良い。具体的な形がないとかなりわかりにくいと思う。

*このタイプの微分方程式を学ぶためには、まずクレローの微分方程式の解法を学ばなくてはならない。特に重要な媒介変数表示された一般解の表現についてはクレロー型のところで説明している。

【微分方程式】例題でわかる：クレロー型／一般解・特異解／曲線群・包絡線

【微分方程式】公式を覚えずに解く「１次線形型」

xで微分する

(1) の両辺を $x$ で微分する。

$\begin{eqnarray*} &&p=f(p)+x\frac{df(p)}{dp}\cdot\frac{dp}{dx}+\frac{dg(p)}{dp}\cdot\frac{dp}{dx}\\\\ \Leftrightarrow \quad && \left\{f(p)-p\right\}+xf'(p)\frac{dp}{dx}+g'(p)\frac{dp}{dx}=0\\\\ \Leftrightarrow \quad && \frac{dx}{dp}+\frac{xf'(p)}{f(p)-p}+\frac{g'(p)}{f(p)-p}=0\quad(p\neq 0) \end{eqnarray*}$

これがどのタイプの微分方程式になるかわかるだろうか。

$\begin{eqnarray*} y'+Q(x) y + R(x)=0 \end{eqnarray*}$

　と同じ線形型の微分方程式となっている。ここで $x\to p,y\to x$ に対して

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} Q(p)=\frac{f'(p)}{f(p)-p}\\ R(p)=\frac{g'(p)}{f(p)-p} \end{cases} \end{eqnarray*}$

としておく。これは覚えるものではない。実際の問題では、ラグランジュの微分方程式の両辺を $x$ で微分し、線形型の微分方程式に変形していけば良い。

線形型微分方程式を解く

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dp}+R(p) x + Q(p)=0 \end{eqnarray*}$

の線形型に対して、両辺に

$\begin{eqnarray*} e^{\int R(p)\,dp} \end{eqnarray*}$

をかけて整理すると

$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dp}\left(xe^{\int R(p)\, dp}\right)=-\int Q(p)e^{\int R(p)\,dp}\,dp\\\\ \Leftrightarrow \quad && x(p)=-e^{-\int R(p)\, dp}\left\{ \int Q(p)e^{\int R(p)\,dp}\,dp+C\right\}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　これが一般解である。これもまた覚えるものではない。

　ここで得られた形は $x,p,C$ を含む（ $C$ は積分定数）式で表される。これを $x=h(p,C)$ としておく。

すると、 $x,y,p$ の関係はこの式と(1)で表される。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} y=xf(p)+g(p)\quad \cdots (1)\\ x=h(p,C)\quad \cdots (2) \end{cases} \end{eqnarray*}$

この２式は $x,y$ が $p$ によって表されている、つまり $p$ を媒介変数とした形になっている。 $x,y$ の関係は $p$ によって結び付けられている。

したがって、(1)(2)は微分方程式の一般解を媒介変数で表した形になっており、２式から $p$ を消去したものは $x,y,C$ のみで表された一般解になる。

一般解、特殊解、特異解を調べる

最後に一般解、特殊解、特異解を調べる方法を説明する。

一般解

　これは上で説明した通りである。一般解は媒介変数表示で表すと、上の(1)(2)の２式になる。また、 $p$ を消去した形でも書くことができる。

特殊解

　上の一般解は $p\neq 0$ のときのものである。 $p=0$ の解が特殊解に対応する。すなわち、(1)より特殊解は

$\begin{eqnarray*} y=xf(\textcolor{red}{0})+g(\textcolor{red}{0}) \end{eqnarray*}$

である。特殊解は適当な $C$ を選ぶことにより一般解に含まれる場合がある。

特異解

　得られた一般解を $C$ で偏微分して得る。クレロー型の場合は特異解は一般解の包絡線になっていたことを思い出す。

特異解がない場合もある（ここで扱う例題など）。

　以上のように、ラグランジュの微分方程式では一般解、特殊解、特異解を調べる必要がある。

2. 例題の解答

　解き方が複雑なので一通り解答を見て、再度自分で解くことをお勧めする。特に $p$ の消去する計算は複雑であるし、自分のやり方もあると思う。

【解答】例題は以下のように書けるラグランジュの微分方程式である。

$\begin{eqnarray*} y=2xp+p^2\quad(p=\frac{dy}{dx})\quad \cdots (1) \end{eqnarray*}$

一般解

$x$ で微分：

$\begin{eqnarray*} &&p=2p+2x\frac{dp}{dx}+2p\frac{dp}{dx}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& p+2x\frac{dp}{dx}+2p\frac{dp}{dx}=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \frac{dx}{dp}+\frac{2}{p}=-2\quad(p\neq 0) \end{eqnarray*}$

$p=0$ は特殊解である。

線形型を解く：

両辺に $e^{\int \frac{2}{p}\,dp}\to p^2$ をかけて整理すると

$\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dp}\left(xp^2\right) = -2p^2\\\\ \Leftrightarrow \quad&& xp^2 = -2\int p^2 \,dp=-\frac{2}{3}p^3 + C_1\\\\ \Leftrightarrow \quad&& 3xp^2 + 2p^3 = C \quad(C\equiv 3C_1)\quad \cdots (2) \end{eqnarray*}$

以上より、一般解の媒介変数表示は(1)(2)で表される。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} y=2xp+p^2\\ 3xp^2+2p^3=C \end{cases} \end{eqnarray*}$

$p$ を消去：

パラメータの $p$ を消去していく。(1)より

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{p^2 = y-2xp} \end{eqnarray*}$

を用いて次数を下げていく。(2)について

$\begin{eqnarray*} &&3x\textcolor{blue}{p^2} + 2p\cdot \textcolor{blue}{p^2}=C\\\\ \Leftrightarrow \quad && 3x(\textcolor{blue}{y-2xp})+2p(\textcolor{blue}{y-2xp})=C\\\\ \Leftrightarrow \quad && -xy+2x^2 p + 2y p =C\\\\ \Leftrightarrow \quad && \textcolor{red}{xy+C=2p(x^2+y)}\quad \cdots(3) \end{eqnarray*}$

これの両辺を２乗して

$\begin{eqnarray*} &&(xy+C)^2 = 4\textcolor{blue}{p^2} (x^2+y)^2\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(\textcolor{blue}{y-2xp})(x^2+y)^2\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4y(x^2+y)^2 -4x(x^2+y)\cdot \textcolor{red}{2p(x^2+y)} \end{eqnarray*}$

最後の行で、式(3)の形をわかりやすく書いた。(3)を代入して、

$\begin{eqnarray*} &&(xy+C)^2 = 4y(x^2+y)^2 -4x(x^2+y)\textcolor{red}{(xy+C)}\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)^2\Bigl[y(x^2+y)-x(xy+C)\Bigr]\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)^2\Bigl[\cancel{x^2y}+y^2-\cancel{x^2y}-Cx)\Bigr]\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)(y^2-Cx)\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$