１の三乗根ωは複素平面で見るとすぐ分かる

　高校数学の数Ⅱあたりで出てくる1の三乗根 $\omega$ を複素平面で見てみる。なぜ複雑な以下の式になっているかわかるだろう。絵で見てイメージをつかんでもらえれば良い。ここでは、方程式を使って $\omega$ 定義してから、 $\omega$ を複素平面で見てみる。

1の三乗根 $\omega$ の値

$\begin{eqnarray*}\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\end{eqnarray*}$

あるいは、

$\begin{eqnarray*}\omega=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{eqnarray*}$

である。プラスかマイナスかは問題による。

1. 方程式からωを導出
2. 1の三乗根を複素平面で見る
3. まとめ

1. 方程式からωを導出

　はじめに、1の三乗根を考える。つまり、3乗して1になる $z$ を複素数の範囲で求める。

例題1

以下の方程式を解け。ただし、 $z$ は複素数である。

$\begin{align*}z^3 = 1\end{align*}$

1.1 1の三乗根を求める

　方針：因数分解していく。

3乗に関する因数分解の公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用いる。

【解答】（丁寧に書いておく）

$\begin{eqnarray*} z^3&=&1 \\ \Leftrightarrow z^3 - 1 &=& 0 \\ \Leftrightarrow z^3-1^3 &=& 0 \\ \Leftrightarrow (z-1)(z^2+z+1) &=& 0 \\ \\ \end{eqnarray*}$

したがって、 $z-1=0$ か $z^2+z+1=0$ である。２個目の式の解に関しては二次方程式の解の公式よりわかる。

$\begin{eqnarray*} z^2+z+1=0 \Leftrightarrow z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2} \end{eqnarray*}$

したがって、 $z^3=1$ を満たすものは、 $z=1,\, \frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ の３つである。　 $\blackqsuare$

1.2 ωの定義

　虚数で表されているほうの１つを $\omega$ とする。プラスかマイナスかは問題による。ここでは、後の複素平面の解説のためプラスのほうをとる。

$\omega$ の定義

ここでは、プラスの解を $\omega$ とする。

$\begin{eqnarray*}\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\end{eqnarray*}$

　残りのマイナスの解は $\omega^2$ になることを実際に計算してみる。

1.3 ωの２乗

　 $\omega^2$ を計算する。虚数単位 $i$ の２乗が-1になることに注意する( $i^2 = -1$ )。

$\begin{eqnarray*} \omega^2 &=& \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 \\ &=&\frac{\left(-1+\sqrt{3}i\right)^2}{4}\\ &=&\frac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}\\ &=& \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{eqnarray*}$

　たしかに、 $z^2+z+1=0$ のマイナスの解になっている。以上をまとめると $z^3=1$ の解（1の三乗根）は、 $z=1,\, \omega,\, \omega^2$ であることがわかる。

　あと、 $\omega^2$ は $\omega$ で表すことができる。下に計算を示す。これもよく使う。

$\begin{eqnarray*} \omega^2 + \omgea + 1=0 \Leftrightarrow \omega^2 = -\omega - 1 \end{eqnarray*}$

1.4 ωの3乗

　いま、３乗すると１になる解を探していたため、 $z=1,\, \omega,\, \omega^2$ の３つは３乗するともちろん１になる。当たり前のことだが、念の為、書いておく。

$\begin{eqnarray*} 1^3 &=& 1\\ \omega^3 &=& 1\\ (\omega^2)^3 &=& \omega^6 = 1 \end{eqnarray*}$

　 $\omega^3$ という性質は非常に便利である。なぜかというと、以下の計算例を見ればわかると思う。

$\begin{eqnarray*} \omega^4 &=& \omega^3 \cdot \omega = \omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ \omega^5 &=& \omega^3 \cdot \omega^2 =\omega^2 =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\\ \omega^6 &=& \omega^3 \cdot \omega^3 = 1\\ \omega^7 &=& (\omega^3)^2 \cdot \omega = \omega \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ &\vdots& \end{eqnarray*}$

結局、 $\omega^3=1$ を利用することで、 $\omega$ の $n$ 乗である $\omega^n$ は、 $z=1,\, \omega,\, \omega^2$ のいずれかで表すことができる。

ωのn乗

$k$ と $n$ を0以上の整数とする。

$\begin{eqnarray*} \omega^n=\begin{cases} 1\quad ({\rm for}\; n=3k)\\ \omega \quad ({\rm for}\; n=3k+1) \\ \omega^2 \quad ({\rm for}\; n=3k+2) \end{cases} \end{eqnarray*}$

　つまり、 $\omega^n$ の値は $n$ が3の倍数、3の倍数+1、3の倍数+2のときに分けられる。

2. 1の三乗根を複素平面で見る

　1の三乗根である $\omega$ を複素平面で見ていきたい。 $\omega^3=1$ や $\omega^2 = -\omega -1$ の性質も見えてくる。

2.1 ωの座標

　複素平面上を考える。横軸は実部の値、縦軸は虚部の値である。1の三乗根である $1,\, \omega,\, \omega^2$ の座標はそれぞれ、

$\begin{eqnarray*} 1 &\rightarrow& (1,0)\\ \\ \omega &\rightarrow& (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\\ \\ \omega^2 &\rightarrow& (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{eqnarray*}$

　である。絵を描いてみる。

　バランスよく見えるのは、原点からの距離がそれぞれ１であるから。例えば、原点から $\omega=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ までの距離などを確かめてみればわかる。

　３つの点の距離が１ということは、この３点は半径１の単位円にある。

　ついでに、 $\omega^n$ も載せておこう。

　ちなみに複素共役とは、虚部にマイナスをつけたものであった。つまり、複素数の複素共役とは複素平面上の点について実軸で折り返すことに対応する。ここでは、 $\omega$ の複素共役 $\bar{\omega}=\omega^2$ である。

2.2 ωの３乗の意味

なんとなく、 $\omega$ をかけるごとに反時計回りに赤い点を移るように回転しているように見える。原点を中心として120度回転である。

　そして、図からわかる通り、原点を中心に３回回転すれば元の位置に戻るだろう。これが $\omega^3=1$ の意味である。

　さらに、時計回りの回転（-120度回転）は $\frac{1}{\omega}$ をかけてやることに対応しそうである。そして実際に対応するのである。したがって、先ほどの $\omega^n$ は、 $n$ （ $k$ ）が負の値でも成立するのである。

ωのn乗

$k$ と $n$ を整数とする。

$\begin{eqnarray*} \omega^n=\begin{cases} 1\quad ({\rm for}\; n=3k)\\ \omega \quad ({\rm for}\; n=3k+1) \\ \omega^2 \quad ({\rm for}\; n=3k+2) \end{cases} \end{eqnarray*}$

　 $\omega=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ のように、マイナスのほうを $\omega$ として定義しても上の関係は成り立つ。マイナスのほうで定義するということは、単に上の反時計回りの回転を時計回りにするだけであり、同じように話を進めることができる。

2.3 ωの２乗をベクトルで見る

　座標平面の点は位置ベクトルの見方ができる。３点のベクトルを色分けして描いてみた。

左図： $1,\omega,\omega^2$ に対応するベクトル、右図： $\omega^2=-\omega-1$ の関係

　　左図には位置ベクトルを描いた。それぞれ大きさ１のベクトルである。さらに、それぞれのベクトルの方向へ引っ張る（力を加える）と合力は０になる。それが下の関係の意味である。

$\begin{eqnarray*} \omega^2 + \omega + 1 =0 \end{eqnarray*}$

　また、別の見方もできる。右図には $\omgea+1$ のベクトルをオレンジ描いている。緑と青のベクトルがオレンジになっていることが確認できる。さらにオレンジは $\omgea^2$ の方向とちょうど逆向き（180度逆）になっている。これが下の関係の意味である。

$\begin{eqnarray*} \omega^2 = -\omega - 1 \end{eqnarray*}$

2.4 お絵かきで解く例題

　最後に、ベクトルの見方を使って問題を解いてみよう。2020年度の入試問題を想定した簡単な問題を解く。はじめに実際の解答を示し、その後にお絵描きする。

例題

$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ のとき、次の値を求めよ。

$\begin{eqnarray*} \omega^{2020} + \frac{1}{\omega^{2020}} \end{eqnarray*}$

【方針】　 $\omega^3=1$ や $\omega^2 + \omega + 1=0$ などを使って解いていく。

【解答】　 $\omega^{2020}=\omega^{2019}\cdot \omega=(\omega^3)^{673}\cdot \omega=\omega$ より

$\begin{eqnarray*} \omega^{2020} + \frac{1}{\omega^{2020}} &=&\omega + \frac{1}{\omega}\\ &=&\frac{\omega^2 + 1}{\omega}\\ &=&\frac{\omega^2\left(\omega^2+1\right)}{\omega^2\cdot\omega}\\ &=&\omega^4+\omega^2\\ &=& \omega+\omega^2 \\ &=& -1 \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　ベクトルの絵を描いてみる。 $\omega^{2020}=\omega$ と $\frac{1}{\omega^{2020}}=\omega^{-1}(=\omega^2)$ に注意する。

　緑のベクトルとオレンジのベクトルの足し算が答え（-1）である。これは、もちろん真面目に解いた答えと一致している。

　この例題ではたまたま単位円の上にのっている。しかし、いろいろな問題があり答えが　 $3\omega+1$ などになる場合は単位円の上にはのらない。緑のベクトルを3倍して青のベクトルを足せば、円の上にのらないことは確認できるだろう。

　絵で解いてみたのはイメージしやすくするためである。したがって実際の入試問題ではとっとと式変形して答えを求めるのがいいと思う。

3. まとめ

　絵で見たらイメージもわかりやすかったと思う。無味乾燥な方程式の解も、絵にしてやれば楽しく学べると信じたい。

　ここでは、複素数におけるオイラーの式とその $n$ 乗の

$\begin{eqnarray*} e^{i\theta}&=&{\rm cos}\theta + {\rm sin}\theta \\ \\ e^{i(n\theta)}&=&{\rm cos}(n\theta) + {\rm sin}(n\theta) \end{eqnarray*}$

は使わなかった。これを使えば $\omega$ は $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ であり、120度( $\frac{2\pi}{3}$ )回転の意義もわかるはずである。複素平面の回転については別に述べていきたい。

【複素平面】１の三乗根ωは複素平面で見るとわかる