逆格子空間でのΣを積分 V/(2π)^3 ∫ で置き換える話

　逆格子空間での $\sum_{\bf k}$ は積分で置き換えた方が解析的に計算しやすいときがある。よく見る下の置き換えを証明して、わかりやすく説明する。

和を積分で置き換える

$\begin{eqnarray*} \sum_{\bf k}\to \frac{\Omega}{(2\pi)^3}\int \,d{\bf k} \end{eqnarray*}$

1. 適用条件

　和を積分に置き換えて良いのは、逆格子点の間隔が小さいときである。逆格子点の間隔は周期境界条件が与えられているとき、 $\frac{2\pi}{L}$ である。

系のサイズ $L$ が非常に大きいときは、離散的な逆格子点を連続とみなしてよく、 $\sum_k$ を積分で置き換えることができる。

　図の(a)に示すように逆格子点の間隔は $\frac{2\pi}{L}$ であった。

注意： $\frac{\pi}{a}$ 単位のブリルアンゾーンと混同してはならない。この $k$ 点は1stブリルアンゾーン内にある $k$ 点である。ざっくり言うと、周期境界条件によって1stBZ内に間隔 $\frac{2\pi}{L}$ の $k$ 点のメッシュができる。

　図(b)は逆格子点1個が占める体積を表している。 $k$ 点の間隔が $\frac{2\pi}{L}$ であるため、図(c) のように体積は $\left(\frac{2\pi}{L}\right)^3$ である。

　適当な立方体の体積 $V$ を和で表す。図左のように27個( $k_x-k_y$ 平面( $k_z=0$ )で9個)の格子点が含まれる立方体を考える。

　逆格子点1個あたりの体積が $\left(\frac{2\pi}{L}\right)^3$ であったため、体積 $V$ はその体積に逆格子点の数（例では27個）をかければよい。

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3\cdot \sum_{\bf k} \end{eqnarray*}$

　一方で体積 $\Omega$ は図の右のように3重積分で表すことができる。

$\begin{eqnarray*} \int \,d{\bf k}\equiv \int\int\int \,dk_x\, dk_y \, dk_z \end{eqnarray*}$

これらは同じ体積であるために、 $\sum \to \int$ の関係が求められる。

和を積分で置き換える

$\begin{eqnarray*} \sum_{\bf k}\to \frac{V}{(2\pi)^3}\int \,d{\bf k} \end{eqnarray*}$

であり、 $\Omega=L^3$ とした。

　教科書によっては「和を積分で置き換える」だけ書いてあったりして初学者は戸惑うかもしれない。誰も教えてくれなかったりもするため、ここにその求め方だけ残しておこう。