【解析力学】何故バネの弾性エネルギーはxの2乗に比例するか(調和項・非調和項)


 バネの弾性エネルギーは \frac{1}{2}kx^2 で与えられている。これは変位が小さいという仮定で成り立つ話である。バネの復元力が変位に比例するとしてフックの法則もまた、変位が小さいところで成り立つ。

 どのようにして出てきたか、ポテンシャルエネルギーに注目して説明する。





1. ボールは低いところに

 図の左のように、谷のある場所に灰色のボールを置く。そうすると右のようにボールは極小値の位置に転がる。

 この図において横軸 q は位置を表しており、極小値は q=q_0 である。谷に摩擦がない場合は、ボールは左側までいって初めの一と同じ高さまでのぼるだろう。

 これもまた振動的な運動である。しかし、谷の形が左右非対称になっているため、\sin,\cos の簡単な振動ではないように見える。これは非調和振動と呼ぶ。非調和振動が現れているのは、高い位置からボールを離してしまったからである。

 もっと低い位置からボールを離せば、調和振動(よくある単振動)とみなすことができる。すなわち、極小値をとる q_0 からあまり離れていないところの話になる。



2. ポテンシャルエネルギー

 上に示した「谷」はポテンシャルエネルギー U(q) と考えることができる。そして q_0 周りで谷の形が放物線(2次関数)になることを示す。

2.1 釣り合いの位置まわりで展開

ポテンシャルの極小値は q_0 である(1階微分が0):

    \begin{eqnarray*} \frac{dU(q)}{dq}\Big|_{q=q_0} = 0 \end{eqnarray*}

ポテンシャルを q=q_0 周りでテイラー展開する

    \begin{eqnarray*} U(q)&=& U(q_0)+(q-q_0)\frac{dU(q)}{dq}\Big|_{q=q_0}+\frac{1}{2}(q-q_0)^2 \frac{d^2 U(q)}{dq^2}\Big|_{q=q_0}+ \frac{1}{6}(q-q_0)^3 \frac{d^3 U(q)}{dq^3}\Big|_{q=q_0} + \cdots \\ \\ &=&U(q_0)+(q-q_0) U'(q_0) + \frac{1}{2}(q-q_0)^2 U''(q_0) + \frac{1}{6}(q-q_0)^3 U'''(q_0) + \cdots \end{eqnarray*}

  • U(q_0):これはポテンシャルの原点で 0 にとる。基準は勝手に決めて良い。これは、無限遠を0にとった静電ポテンシャルと似ている。
  • U'(q_0):ポテンシャルの極小値だから 0 。
  • \textcolor{red}{U''(q_0)} :一般には 0 ではない。
  • U'''(q_0) + \cdots :より高次の項

結局 残るのは

    \begin{eqnarray*} \frac{dU(q)}{dq}&=&\frac{1}{2}(q-q_0)^2 U''(q_0) + \frac{1}{6}(q-q_0)^3 U'''(q_0) + \cdots \end{eqnarray*}

である。x を釣り合いの位置からの変位とすると x=q-q_0 である。関数が

    \begin{eqnarray*} \tilde{U}(x)&=&\frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{6}l x^3  + \cdots \\ \\ (k\equiv U''(q_0), l\equiv U'''(q_0) ) \end{eqnarray*}

\tilde{U}(x)とした理由:ポテンシャルの形は同じだが、q_0 分だけずれている。したがって、 U(q) と関数が異なるためここではちゃんと書いた。



2.2 調和項・非調和項

 変位 x=q-q_0 が小さい場合

    \begin{eqnarray*} \tilde{U}(x)\simeq \frac{1}{2} k x^2 \end{eqnarray*}

  • よくみる弾性エネルギーの形 ( x^2 に比例)
  • 単振動(調和振動、自由振動)のポテンシャル
  • フックの法則:F=-\frac{d\tilde{U}(x)}{dx}=-kx

変位 x=q-q_0 が大きい場合:

  • 高次の項が効いてくる ( x^3 に比例する非調和項など)
  • 非調和振動


3. まとめ

 非調和項が必要となるのは、変位が大きい場合である。変位が小さい場合は、ポテンシャルは x^2 に比例する形で近似できる。これが、弾性エネルギーが \frac{1}{2}kx^2 になる理由である。




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