H30 Handai_Material


類題を使って解説する。答えはこちら(pdf)。

1. 解答

 問題は各自入手する。

【問題1】行列の対角化と漸化式

 行列の対角化を用いて漸化式を解く、よくある問題である。



【問題2】楕円と微分・積分

誘導に乗れず、あまりうまく解けていない。

arctanの微分は公式通り。

    \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}{\rm arctan} \left(\frac{x}{a}\right) \right) &=& \frac{1}{a}\frac{\frac{1}{a}}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2} \\ \\ &=& \frac{1}{a^2 + x^2} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}

楕円上の点は、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} x=2{\rm cos}\theta \\ y={\rm sin}\theta \end{cases} \end{eqnarray*}

と置ける。このとき、楕円の方程式の両辺を x で微分して、

    \begin{eqnarray*} \frac{2x}{4}+2y\frac{dy}{dx}=0 \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y} \end{eqnarray*}

である。したがって、(2{\rm cos}\theta,{\rm sin}\theta) における接線の方程式は、

    \begin{eqnarray*} y&=&-\frac{2{\rm cos}\theta}{4{\rm sin}\theta}(x-2{\rm cos}\theta)+{\rm sin}\theta \\ \\ x{\rm cos}\theta + 2y{\rm sin}\theta &=& 2 \end{eqnarray*}

である。x 軸、y 軸との交点は、

    \begin{eqnarray*} \left(0,\frac{2}{{\rm cos}\theta}\right),\; \left(\frac{1}{{\rm sin}\theta},0\right) \end{eqnarray*}

であるため線分ABの距離の2乗 \overline{AB}^2 は、

    \begin{eqnarray*} \overline{AB}^2&=& \left(\frac{2}{{\rm cos}\theta}\right)^2 +\left(\frac{1}{{\rm sin}\theta}\right)^2 \\ \\ &=& \frac{4}{{\rm cos}^2\theta}+\frac{1}{{\rm sin}^2\theta}\\ \\ &=& 4(1+{\rm tan}^2\theta)+\left(1+\frac{1}{{\rm tan}^2\theta}}\right) \\ \\ &=& 5+4{\rm tan}^2\theta+\frac{1}{{\rm tan}^2\theta} \\ \\ &\geq& 5+\sqrt{4{\rm tan}^2\theta\cdot \frac{1}{{\rm tan}^2\theta}} \\ \\ &=& 7  \quad \blacksquare \end{eqnarray*}

途中に(相加平均) \geq (相乗平均)の関係を用いた。

 次に2つの楕円で囲まれた面積を求める。対称性より、図の斜線部分の面積を面積を S として、S を8倍すれば求めたい面積になる。

 ここで2つの楕円は x=yx=-y)に対して対象であり、楕円の4つの交点は (\pm\frac{2}{\sqrt{5}},\pm\frac{2}{\sqrt{5}}) (複合任意)であることに注意する。

 S を求める:

    \begin{eqnarray*} S=\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \left( \sqrt{1-\frac{x^2}{2}} - x \right)\, dx =\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\, dx -\frac{2}{5} \end{eqnarray*}

第一項の積分を計算する。(公式はあるが、部分積分と工夫で解ける。)

    \begin{eqnarray*} I&\equiv&\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\, dx\\ \\ &=&\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} (x)' \sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\, dx \\ \\ &=& \left[ x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\right]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}} } -\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} x\cdot \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{2x}{4}\right)}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \,dx \\ \\ &=& \frac{4}{5}+\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{\frac{x^2}{4}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\,dx \\ \\ &=&\frac{4}{5}+\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \left[ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} - \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \right]\,dx\\ \\  &=& \frac{4}{5}+\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\,dx -  \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} \,dx\\ \\  &=& \frac{4}{5}+ \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \,dx \;-I \end{eqnarray*}



    \begin{eqnarray*} \therefore \quad 2I=\frac{4}{5}+ \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \,dx \end{eqnarray*}

この第二項の積分については、

    \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}{\rm arcsin}x &=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \rightarrow \quad \frac{d}{dx}{\rm arcsin}\left(\frac{x}{2}\right) &=& \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\\ \\ \end{eqnarray*}

であることを利用して、

    \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \,dx &=&2\left[ {\rm arcsin}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{5}}}\\ \\ &=&2{\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \end{eqnarray*}

よって、

    \begin{eqnarray*} I&=&\frac{1}{2}\left\{\frac{4}{5}+2{\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \right\}\\ \\ &=& \frac{2}{5}+{\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \end{eqnarray*}

となる。以上より、

    \begin{eqnarray*} S=\left\{\frac{2}{5}+{\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \right\} -\frac{2}{5}={\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \end{eqnarray*}

よって、求める面積はこれを8倍してたものである。

    \begin{eqnarray*} 8S=8\,{\rm arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \quad \blacksquare \end{eqnarray*}

補足:

8\,{\rm arcsin}\frac{1}{\sqrt{5}}\sim3.71 である。一方で、図のような緑の正方形の面積は \frac{16}{5}=3.2 である。

    \begin{eqnarray*} 8\,{\rm arcsin}\frac{1}{\sqrt{5}} \geq \frac{16}{5} \end{eqnarray*}

正方形に見えないのなら、
あなたの画面が傾いてる可能性がある


【問題3】ラプラス変換による微分方程式の解法

下の方法を参考に同様にして解ける。 「2. 2階微分方程式を解こう」以降を参考にすればよい。

  




【問題4】複素積分の応用(実積分f(cosθ)型)

このタイプの問題はよくある問題である。{\rm cos}\theta=\frac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) をうまく使う。



2. 総評

 前年度よりは簡単かもしれない。


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