【方向余弦】はじめての方向余弦（図でわかる）

　方向余弦は、あるベクトルの方向を表す方法のひとつである。各軸から測った3つの角度で表現できる。ここでは絵を使って性質などをまとめておく。

学ぶこと

ベクトル $\vec{A}$ の方向を向く
３つの軸から測った角度 $\alpha,\beta,\gamma$ で表される
$(l,m,n)$ は単位ベクトル（大きさ１）になる

1. 方向余弦の表し方
2. どうして cos になるか？
3. 角度の関係
4. まとめ

1. 方向余弦の表し方

　表し方は図の通りである。

$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ の３つの余弦によって方向を表すので、「方向余弦」と呼ぶ。後の「3.角度の関係」に示すように

$\begin{eqnarray*} \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 \end{eqnarray*}$

の関係がある。

説明：

　あるベクトル $\vec{A}$ を考える。このベクトルの方向は以下のように表すことができる。

$x$ 軸から測った角度 $\alpha$
$y$ 軸から測った角度 $\beta$
$z$ 軸から測った角度 $\gamma$

で表すことができる。つまり方向余弦を

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} l\\m\\n \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \cos\alpha\\ \cos\beta \\ \cos \gamma \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

で表す。このベクトルの大きさは１である。

2. どうして cos になるか？

　ベクトルの内積を使って示す。

説明： $\vec{A}$ を

$\begin{eqnarray*} \vec{A}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

として、３つの軸から測ったときの角度をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ とする。このとき、３つの軸方向の単位ベクトル、

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_x=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0 \end{array}\right),\quad \vec{e}_y=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0 \end{array}\right),\quad \vec{e}_z=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

と $\vec{A}$ との内積をとる。

内積は $\cos$ を使った表現と成分で表現する２通りある。

$\begin{eqnarray*} \vec{A}\cdot\vec{e}_x&=&||\vec{A}||\cdot ||\vec{e}_x||\textcolor{red}{\cos \alpha} = x\\ \vec{A}\cdot\vec{e}_y&=&||\vec{A}||\cdot ||\vec{e}_y||\textcolor{red}{\cos \beta} = y\\ \vec{A}\cdot\vec{e}_z&=&||\vec{A}||\cdot ||\vec{e}_z||\textcolor{red}{\cos \gamma} = z \end{eqnarray*}$

$A\equiv ||\vec{A}||$ とすると $||e_i||=1$ であるため

$\begin{eqnarray*} \cos\alpha&=&\frac{x}{A}\equiv l\\\\ \cos\beta &=&\frac{y}{A}\equiv m\\\\ \cos\gamma&=&\frac{z}{A}\equiv n \end{eqnarray*}$

となる。方向余弦を表すために、 $l,m,n$ を用いると便利である。 ( $\cos$ で表されているほうが意味は取りやすい気がするのだが。)

　これより、 $x,y,z$ を方向余弦を使って表すことができる。

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}A\cos\alpha\\A\cos\beta\\A\cos\gamma \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}Al\\Am\\An \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

または

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)= A\left(\begin{array}{c}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma \end{array}\right)= A\left(\begin{array}{c}l\\m\\n \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

3. 角度の関係

　最後に方向余弦

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} l\\m\\n \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \cos\alpha\\ \cos\beta \\ \cos \gamma \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

のベクトルの大きさが１であることを示す。すなわち、

$\begin{eqnarray*} l^2+m^2+n^2 = \cos^2\alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \end{eqnarray*}$

を示す。

説明：

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{A}}{A}=\frac{1}{A}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}l\\m\\n \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

である。ベクトル $\vec{A}$ を自分の大きさ $A$ でわった左辺は単位ベクトルである。したがって、これらの等号で結ばれたベクトルの大きさはすべて１である。

そういうわけで

$\begin{eqnarray*} \cos^2\alpha+\cos^2\beta +\cos^2\gamma=1 \end{eqnarray*}$

あるいは

$\begin{eqnarray*} l^2+m^2+n^2=1 \end{eqnarray*}$

となる。

4. まとめ

　方向余弦をまとめると以下のようになる。

ベクトル $\vec{A}$ の方向を向く
３つの軸から測った角度 $\alpha,\beta,\gamma$ で表される
$(l,m,n)$ は単位ベクトル（大きさ１）になる

　方向余弦を表す $\cos$ を導出するためには、各軸の単位ベクトルと内積を取ればよいことがわかる。

【ベクトル解析】はじめての方向余弦（図でわかる）

1. 方向余弦の表し方

2. どうして cos になるか？

3. 角度の関係

4. まとめ

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2. どうして cos になるか？

3. 角度の関係

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