行列式 |A B // B A| = |A-B||A+B| の証明

　行列式が下のような対称な形の場合に重要な関係がある。以下を示す。

重要な行列式の公式

$A,B$ は $n$ 次正方行列のときに以下が成り立つ。

$\begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} \right| =|A-B||A+B| \end{eqnarray*}$

1. det(A B O C) = det(A)det(C)
2. 証明
3. まとめ

1. det(A B O C) = det(A)det(C)

　下の関係式を使う。零行列があるときは簡単に行列式が計算できる。

零行列 $O$ があるときの行列式

$\begin{eqnarray*}{\rm det}\left(\begin{array}{cc}A & B\\ O & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & O\\ C & D\end{array}\right)={\rm det}(A){\rm det}(D)\end{eqnarray*}$

※この証明は見かけ以上に面倒である。 $A,B,O,C$ がそれぞれ 2 $\times$ 2 なら簡単に証明できるのが、一般の $n$ 次正方行列の場合はちょっと大変。

参考：det(A O C D)=det(A B O D)=det(A)det(C) の証明

　上の形を作れば簡単に行列式が計算できる。

2. 証明

　証明：零行列ができるように式変形していく。行列は $2n\times 2n$ であることに注意する。

$\begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} \right| &=& \left| \begin{array}{cc} A-B & B-A \\ B & A \end{array} \right| \\ \\ &=& \left| \begin{array}{cc} A-B & O \\ B & A+B \end{array} \right| \\ \\ &=& |A-B||A+B| \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$