カテゴリー: 数学

　をで表すための計算をおこなう。これは、２階微分を含んだラプラシアンの極座標表示を導くときに使う。よくみる結果だけ最初に示す。１階微分の極座標表示 1. 極座標表示　一般的な極座標変換 …

　電磁気学でよく習うは高校を卒業したての大学生の頭を困惑させる(rotation)。ここでは計算式など一切使わず、何を求めているのかイメージを掴んでもらいたい。 1. 回転（rot）の意味　ベクトル解析の勾配、発散、 …

　1/6公式、1/12公式などパターンをまとめた。大学入試でよく使った公式である。導出は数学Ⅲの部分積分を使わず、すべて数学Ⅱの積分レベルで工夫した。（追い詰められた人向けの格言：面積を求める穴埋め問題なら、全部絶対 …

　図のとの面積の和を求めたい。　ちなみに、となるのはが三次関数の変極点になるとき。 1. 積分計算　３つ交点がある場合の面積を考えよう。交点の座標をそれぞれ、としておく。　２つの領域に分けてそれぞれの面 …

　セカント（sec）の積分を計算する。この積分の形はの途中などに現れる。ここでは、うまい置換積分をすることで簡単に計算できる方法を紹介する。最終的な結果は下の通り。 sec(x)の不定積分 …

　セカント(sec)の3乗、すなわち、1/cos の３乗の積分を計算する。うまい変形をすることで解ける。最終的な結果は以下の通り。結果 1. 証明　に慣れてない人用に、の形を使わずに …

二項定理　ここで、組み合わせとしている。上の二項定理を使えば和はの形に表すことができる。これを利用したさまざまな問題があるので、ここでは解き方とともに紹介する。二項定理を使ったいくつ …

　ウォリスの公式（Wallis formula）は無限積がになるという驚きの結果である。　証明には、ウォリスの積分（Wallis’s integral）を使う。ウォリスの「積分」とウォリスの「公式」を混同 …

　高校数学では、３項間漸化式の問題は特性方程式を用いて解く（2章参照）。ここでは、別解として行列の対角化を用いた解法を紹介する。以下の例題を解いてみる。例題以下の漸化式を満たす数列の一般解を求めよ。 …

　高校数学の数Ⅱあたりで出てくる1の三乗根を複素平面で見てみる。なぜ複雑な以下の式になっているかわかるだろう。絵で見てイメージをつかんでもらえれば良い。ここでは、方程式を使って定義してから、を複素平面で見てみる。 1 …