【外積】間違わない 3次元ベクトルの外積計算(初心者向け)


 この記事では、外積の成分計算が不安な方を対象としている。計算をよく間違える方はここにある方法で計算するといいと思う。主にベクトル計算の初心者を対象とするので、外積の応用などについては踏み入らない。



1. 外積

 外積はベクトル解析で頻繁に現れる。また、ベクトル同士の内積はスカラー量を与えるが、ベクトル同士の外積はベクトル量を与える。

1.1 定義

外積の計算は以下の通り。

外積の成分計算

3次元ベクトル

    \begin{eqnarray*} \vec{a}&=&\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)\\ \vec{b}&=&\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

の外積は、

    \begin{eqnarray*}\vec{a}\times\vec{b}&=&\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)\\ \\&=&\left(\begin{array}{c} a_2 b_3 -a_3 b_2 \\a_3 b_1 -a_1 b_3 \\a_1 b_2 -a_2 b_1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

 具体例を見るとわかりやすい。

1.2 計算のコツ

 外積・内積の計算は縦ベクトルで書くと間違いにくい。掛け合わせるべき数字が隣にあると、視覚的に間違えにくいからである。

例題

    \begin{eqnarray*}\vec{a}&=& \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\\ \vec{b}&=&\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

について、外積 \vec{a}\times\vec{b} を求めよ。

与えられた2つのベクトルを書く。そして図のように書く。

  STEP①:同じベクトルの数字をすぐ下に書く。
  STEP②:一番下の行は使わないので消す。

IMG_5028E9565A94-1

  STEP③:\vec{a}\times\vec{b}の成分を1個ずつ計算していく。

1行目の成分:

IMG_4E9737ABD9F2-1

手順は、

  1. 使わない1行目を指で隠す(図では灰色線で消している)
  2. クロスに掛け合わせる。赤色はプラス、緑はマイナスで足す。

だけである。

2行目の成分:

IMG_161333BFC11C-1

同様の手順で計算できる。

  1. 使わない2行目を指で隠す(図では灰色線で消している)
  2. クロスに掛け合わせる。赤色はプラス、緑はマイナスで足す。
ポイント

下に数字を書き加えてあるので、手順2の掛け算がやりやすくなっている。

3行目の成分:
同じように計算する。

IMG_50BA8AECB42F-1

同様。

  1. 使わない3行目を指で隠す(図では灰色線で消している)
  2. クロスに掛け合わせる。赤色はプラス、緑はマイナスで足す。

1.3 解答

    \begin{eqnarray*}\vec{a}\times\vec{b}&=&\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

\blacksquare

2. まとめ

 縦ベクトルを使うと間違えにくい。さらに、下に数字を書き加えたことで2行目、3行目を1行目と同じ要領で計算することができる。計算に慣れてきたら、数字を付け足さなくても計算できるようになる。

 付け加えた数字は、自転車における補助輪のようなものである。


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