【インドの魔術師】ラマヌジャンの見つけたクールな式【11式】


Srinivasa Ramanujan - OPC - 1
creofire.com (archived from the original) [Public domain], via Wikimedia Commons

 インド生まれの数学者ラマヌジャンが見つけたクールな式を紹介する。目次の \square には複雑な式が入ります。一通り記事を読んでから、\square を穴埋め形式で使えるようにしています。ご活用ください(これは悪ふざけです)。



1. ラマヌジャンって?

 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン(Srinivasa Ramanujan)は偉大な数学者である。1887年に生まれて、32歳という若さで亡くなったものの、その生涯に数えきれない功績を残している。

 本記事では、連分数や円周率 \pi の近似式の計算に長けた、「インドの魔術師」ラマヌジャンの見つけた式を紹介しよう。

2 分数・整数を忘れたら使う式

 分数やら整数やら値がわからなくなった!というときに使えるかもしれない式です。私は覚えている派なので使ったことはないです。

2.1 □=1/2

 もし、\frac{1}{2} が何かわからなくなったり、失われたときには以下の式を使うといいでしょう。

1/2が知りたいときに使う式

 

    \begin{eqnarray*}\sqrt{1-\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{8}\sqrt{1-\cdots}}}}}=\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

 根号(ルート)が入れ子になっています。どこからこの式は来たのでしょう?

2.2 □=5/2

 上のように、\frac{1}{2} を忘れる方はいませんね。もうちょっと複雑に行きましょう。 もし、\frac{5}{2} が何かわからなくなったら以下の式を使うといいでしょう。

5/2が知りたいときに使う式

 

    \begin{eqnarray*}\prod_{p}^{\infty}\left(\frac{p^2+1}{p^2+1}\right)=\frac{5}{2}\end{eqnarray*}

pは素数、\prodは総乗を表します。つまり、

    \begin{eqnarray*}\left(\frac{2^2+1}{2^2+1}\right)\left(\frac{3^2+1}{3^2+1}\right)\left(\frac{5^2+1}{5^2+1}\right)\left(\frac{7^2+1}{7^2+1}\right)\left(\frac{11^2+1}{11^2+1}\right)\cdots=\frac{5}{2}\end{eqnarray*}


と表すことができる。らしい。わかりやすいので、何項までが具体的に計算できそうです。

2.3 □=-2

 中学生になると「負の数」を習います。理解できない学生がいたらそっと下の式を教えてあげましょう。

中学生もビックリの式

 

    \begin{eqnarray*}\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\cdots}}}}=-2\end{eqnarray*}

 でもやっぱり立方根は難しいでしょうか?

2.4 □=3

 そんなあなたに根号で表された式です。

世界のナベアツが喜ぶ式

 

    \begin{eqnarray*}\sqrt{ 1 + 2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}} } =3\end{eqnarray*}

次からは超越数が入るので難しいです。

3. 連分数による公式、ネイピア数 e 関連

 連分数による公式を紹介します。余談ですが、連分数はノートに手書きで書くと式のバランスがとりにくいです。e 関連の式が多いです。

3.1 □=1/(e-1)

 右辺は分数だらけの連分数ですが、eを使って綺麗に表現できます。逆かもしれない。左辺が超越数だけど、右辺のように自然数で表すことができるほうが綺麗かもしれない。

何かの機会に使う式

 

    \begin{eqnarray*}\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\cdots}}}}=\frac{1}{e-1}\end{eqnarray*}

3.2 □=exp(π-1)/exp(π+1)

Euler’s identity e^{i\pi}+1=0 みたいな形が現れる式。Eulerが好きそうな式でもある。

オイラーライクな式

 

    \begin{eqnarray*}\frac{\pi}{2+\frac{\pi^2}{6+\frac{\pi^2}{10+\frac{\pi^2}{14+\cdots}}}}=\frac{e^{\pi}-1}{e^{\pi}+1}\end{eqnarray*}

これは一般化もできる。

オイラー感の抜けた式

 

    \begin{eqnarray*}\frac{x}{2+\frac{x^2}{6+\frac{x^2}{10+\frac{x^2}{14+\cdots}}}}=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\end{eqnarray*}

 いろんな値を x に代入して楽しむことができる式である。

3.3 □=√(πe/2)

 長い旅路の末、2つの超越数に結びつく衝撃的な結果となる。

国境の長いトンネルを抜けると超越数の根号だった。

 

    \begin{eqnarray*}1&+&\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}\\&+&\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 9} +\cdots +\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\cdots}}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}\end{eqnarray*}

 左辺の無限級数と連分数が、よく知られた \pie で表されるとは驚きである。

4. 円周率 π 関連

 \pi は古代より近似値が求められてきた。 ラマヌジャンもその例にもれずいろいろな \pi に関する式を発表している。

4.1 □≒π

 近似精度は悪いだろうが、今まで以上に計算しやすい式である。

\piを近似式であらわしてみた

 

    \begin{eqnarray*}\pi \fallingdotseq \frac{99^2}{2206\sqrt{2}}\end{eqnarray*}

この式は8桁目まで正しい。

4.2 □=2/π

 分母に \pi があってもラマヌジャンには関係ない。

クールな式

 

    \begin{eqnarray*}1-5\left(\frac{1}{2}\right)^3+9\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^3-13\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}\end{eqnarray*}

 次からはもっと激しい式を。

4.3 □=1/π (その1)

 無限級数で表された \pi の驚愕の表現。

中ボス感

 

    \begin{eqnarray*}\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}\end{eqnarray*}

 1103+26390n に何か秘訣が?

4.4 □=1/π (その2)

 最後に、二重階乗を使った見栄えがいい公式を紹介する。

圧倒的ラスボス感

 

    \begin{eqnarray*}\frac{1}{\pi}=\sqrt{8}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1103+26390n)(2n-1)!!(4n-1)!!}{99^{4n+2}32^n(n!)^3}\end{eqnarray*}

 やっぱり、1103+26390n に何か秘訣が?数式ですらエクスクラメーション。

5. おまけ:タクシー数

    \begin{eqnarray*}1729=1^3+12^3 =9^3 + 10^3\end{eqnarray*}

 1729はタクシー数と呼ばれる。公式ではないが、ラマヌジャンの逸話として有名なので紹介しておく。ラマヌジャンの指導教官である、ハロルド・ハーディとの逸話は以下の通りである。

 1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。
「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない数字だったよ」

 これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。
「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」

実は、1729は次のように表すことができる。

    \begin{eqnarray*}1729=1^3+12^3 =9^3 + 10^3\end{eqnarray*}

 すなわち、1729が「A = B^3 + C^3 = D^3 + E^3」という形で表すことのできる数 A のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。

 このエピソードに見られるように、ラマヌジャンは直感的なひらめきに優れていますね。

6. まとめ

 公式を通して、ラマヌジャンの常人離れしたすごさが見えたと思います。公式マスターを目指すためには、目次に戻って穴埋めを活用しましょう。今後、他にもおもしろい公式があったらまとめていきたいです。


 お読みいただきありがとうございました。


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