【ベクトル解析】div(rot(A))=0の証明(ベクトル解析)


 ベクトル解析の各種の公式は、成分ごとに考えるのがわかりやすい。また、前提として、divはベクトルに作用して、スカラー量をつくることを理解しておく。(ベクトル同士の内積と同じである。)ここでは触れ無いが、実はレヴィ=チヴィタの記号を学べば、ベクトル解析のrot(rot{\bf A})=0などの公式は即座に導けることがわかるだろう。

1. 成分ごとに計算

    \begin{eqnarray*} {\rm div}({\rm rot}{\bf A})&=&\Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_x +\Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_y +\Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_z \cdots (*) \end{eqnarray*}

 

について、x 成分を計算すると、

    \begin{eqnarray*} \Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_x&=& \nabla_x \Bigl[ \nabla \times {\bf A} \Bigr]_x\\ &=& \nabla_x \Bigl[ \nabla_y {\bf A}_z - \nabla_z {\bf A}_y \Bigr]\\ &=& \nabla_x \nabla_y {\bf A}_z - \nabla_x \nabla_z {\bf A}_y \end{eqnarray*}

 

となる。ここで、

    \begin{eqnarray*} \nabla_x\equiv \frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}

と略記した。yz 成分も同様にして、

    \begin{eqnarray*} \Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_y = \nabla_y \nabla_z {\bf A}_x - \nabla_y \nabla_x {\bf A}_z\\ \Bigl[\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})\Bigr]_z = \nabla_z \nabla_x {\bf A}_y - \nabla_z \nabla_y {\bf A}_x \end{eqnarray*}

 

を得る。したがって、式(*)は、

    \begin{eqnarray*} {\rm div}({\rm rot}{\bf A})&=& \nabla_x \nabla_y {\bf A}_z - \nabla_x \nabla_z {\bf A}_y\\ &+&\nabla_y \nabla_z {\bf A}_x - \nabla_y \nabla_x {\bf A}_z \\ &+&\nabla_z \nabla_x {\bf A}_y - \nabla_z \nabla_y {\bf A}_x\\ &=&0\\ (\because \nabla_j \nabla_k {\bf A}_i &=& \nabla_k \nabla_j {\bf A}_i) \end{eqnarray*}

 

となる。{\rm div}({\rm rot}{\bf A})=0が証明された。


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