ハイゼンベルグの運動方程式の導出

　ハイゼンベルグの運動方程式を導出する。この式は量子力学においてもでてくる。元々は行列力学の式であったが重要である。シュレディンガー描像とハイゼンベルグの描像の違いをおさえておきたい。基礎知識としては以下である。

期待値

量子力学における期待値 $\braket{\Phi|A|\Phi}$ は描像によらない

1. 2つの描像
2. 導出

1. 2つの描像

　シュレディンガー描像では、 $\Phi$ は時間依存し、演算子 $A_{\rm S}$ は時間依存しない。（添字はシュレディンガーを表す。）
　ハイゼンベルグの描像では、 $\Phi$ は時間依存せず、演算子 $A_{\rm H}$ は時間依存する。（添字はハイゼンベルグを表す。）これらの関係は以下の表に簡単にまとめた。

２つの演算子の間には重要な関係がある。

演算子の関係

$\begin{eqnarray*}A_{\rm H}=e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}\end{eqnarray*}$

の関係がある。（ $H$ はハミルトニアンを表し、相互作用や摂動がある場合は、摂動ハミルトニアンを $H'$ として $H=H^0+H'$ で表す。

ハミルトニアン演算子 $H$ が指数関数の肩に乗っている場合

　指数関数の級数展開を考える。
すなわち、 $e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots$ と同様に、

$\begin{eqnarray*}e^{\frac{i}{\hbar}Ht} = 1 +\frac{i}{\hbar}Ht + \frac{1}{2}{(\frac{i}{\hbar}t)}^2 H^2 + \cdots\end{eqnarray*}$

とみなして計算する。

交換関係 $[H,e^{\frac{i}{\hbar}Ht}]=0$

　なぜなら、 $e^{\frac{i}{\hbar}Ht}$ は上のようにハミルトニアン $H$ の冪乗（ $H^n$ ）の形に展開できるから。

2. 導出

方針：シュレディンガー描像の演算子 $A_{\rm S}$ は時間依存しないことに注意して計算する。

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t} &=& \frac{\partial}{\partial t} \bigl [ e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{i}{\hbar}Ht}\bigr]\\&=&\frac{i}{\hbar}H e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} H e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}\\&=&\frac{i}{\hbar} \bigl[ H e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} - e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} H \bigr]\\&=&\frac{i}{\hbar} \bigl( H A_{\rm H} - A_{\rm H} H \bigr)\\&=&\frac{i}{\hbar}[H,A_{\rm H}]\end{eqnarray*}$

最終的な結果として、

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}[H,A_{\rm H}]\end{eqnarray*}$

を得る。あるいは、

$\begin{eqnarray*}i\hbar \frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}=[A_{\rm H},H]\end{eqnarray*}$

を得る。

1. 2つの描像

2. 導出

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