ハイゼンベルグの運動方程式を導出する。この式は量子力学においてもでてくる。元々は行列力学の式であったが重要である。シュレディンガー描像とハイゼンベルグの描像の違いをおさえておきたい。基礎知識としては以下である。
期待値
量子力学における期待値 は描像によらない
1. 2つの描像
シュレディンガー描像では、
は時間依存し、演算子
は時間依存しない。(添字はシュレディンガーを表す。)
ハイゼンベルグの描像では、
は時間依存せず、演算子
は時間依存する。(添字はハイゼンベルグを表す。)これらの関係は以下の表に簡単にまとめた。


ハイゼンベルグの描像では、


2つの演算子の間には重要な関係がある。
演算子の関係
の関係がある。(はハミルトニアンを表し、相互作用や摂動がある場合は、摂動ハミルトニアンを
として
で表す。
- ハミルトニアン演算子
が指数関数の肩に乗っている場合
指数関数の級数展開を考える。
すなわち、
と同様に、
すなわち、

とみなして計算する。
- 交換関係
なぜなら、
は 上のようにハミルトニアン
の冪乗(
)の形に展開できるから。



2. 導出
方針:シュレディンガー描像の演算子 は時間依存しないことに注意して計算する。
最終的な結果として、
を得る。あるいは、
を得る。