ハイゼンベルグの運動方程式の導出


 ハイゼンベルグの運動方程式を導出する。この式は量子力学においてもでてくる。元々は行列力学の式であったが重要である。シュレディンガー描像とハイゼンベルグの描像の違いをおさえておきたい。基礎知識としては以下である。

期待値

量子力学における期待値\braket{\Phi|A|\Phi} は描像によらない



1. 2つの描像

 シュレディンガー描像では、\Phi は時間依存し、演算子 A_{\rm S} は時間依存しない。(添字はシュレディンガーを表す。)
 ハイゼンベルグの描像では、\Phi は時間依存せず、演算子 A_{\rm H} は時間依存する。(添字はハイゼンベルグを表す。)これらの関係は以下の表に簡単にまとめた。

 

PNGイメージ

 

2つの演算子の間には重要な関係がある。

演算子の関係

    \begin{eqnarray*}A_{\rm H}=e^{\frac{i}{\hbar}Ht}  A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}\end{eqnarray*}

の関係がある。(Hはハミルトニアンを表し、相互作用や摂動がある場合は、摂動ハミルトニアンを H' としてH=H^0+H'で表す。

  • ハミルトニアン演算子 H が指数関数の肩に乗っている場合
 指数関数の級数展開を考える。
すなわち、 e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdotsと同様に、

    \begin{eqnarray*}e^{\frac{i}{\hbar}Ht} = 1 +\frac{i}{\hbar}Ht + \frac{1}{2}{(\frac{i}{\hbar}t)}^2 H^2 + \cdots\end{eqnarray*}

とみなして計算する。

  • 交換関係 [H,e^{\frac{i}{\hbar}Ht}]=0
 なぜなら、e^{\frac{i}{\hbar}Ht} は 上のようにハミルトニアン H の冪乗(H^n)の形に展開できるから。

2. 導出

方針:シュレディンガー描像の演算子 A_{\rm S} は時間依存しないことに注意して計算する。

    \begin{eqnarray*}\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t} &=& \frac{\partial}{\partial t} \bigl [ e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{i}{\hbar}Ht}\bigr]\\&=&\frac{i}{\hbar}H e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} H e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}\\&=&\frac{i}{\hbar} \bigl[ H e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} - e^{\frac{i}{\hbar}Ht} A_{\rm S} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht} H \bigr]\\&=&\frac{i}{\hbar} \bigl( H A_{\rm H} -  A_{\rm H}  H \bigr)\\&=&\frac{i}{\hbar}[H,A_{\rm H}]\end{eqnarray*}

最終的な結果として、

    \begin{eqnarray*}\frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}[H,A_{\rm H}]\end{eqnarray*}

を得る。あるいは、 

    \begin{eqnarray*}i\hbar \frac{\partial A_{\rm H}}{\partial t}=[A_{\rm H},H]\end{eqnarray*}

 

を得る。 


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